Привет! В этой статье я расскажу о том, как решить задачу, связанную с координатами вершин пирамиды АВСД, а именно⁚
1) Векторы АВ٫ АС и АД в системе орт и их модули․ Для вычисления вектора АВ٫ нам необходимо вычесть координаты вершины А из координат вершины В․ Получаем вектор АВ (0 ⏤ 2; 4 ー 1; 0 ー 0) (-2; 3; 0)․ Аналогично вычисляем векторы АС и АД․ Для модулей этих векторов используем формулу⁚ |AB| √(x^2 y^2 z^2)․ Подставляем значения векторов и получаем модули⁚ |AB| √((-2)^2 3^2 0^2) √(4 9 0) √13٫ |AC| √(0^2 0^2 6^2) √36 6٫ |AD| √(0^2 3^2 8^2) √(0 9 64) √73․
2) Угол между векторами АВ и АС можно найти с помощью скалярного произведения векторов․ Формула для скалярного произведения двух векторов⁚ A*B |A| * |B| * cos(α), где α ⏤ искомый угол․ Подставляем известные значения⁚ (-2; 3; 0) * (0; 0; 6) √13 * 6 * cos(α)․ Отсюда находим угол α⁚ cos(α) (-12) / (6√13) -2 / √13․ Используем обратную функцию косинуса и находим угол⁚ α arccos(-2 / √13)․
3) Площадь грани АВС․ Для этого воспользуемся формулой площади треугольника по координатам его вершин․ По определению, площадь треугольника ABC равна половине модуля скалярного произведения векторов AB и AC․ Подставляем значения векторов⁚ S 0․5 * |AB| * |AC| * sin(β), где β ⏤ угол между векторами AB и AC․ Используем формулу синуса и находим площадь⁚ S 0․5 * √13 * 6 * sin(α)․
4) Объем пирамиды АВСД․ Для вычисления объема пирамиды нам необходимо найти высоту и площадь основания․ Для площади основания уже мы вычислили в предыдущем пункте․ Высоту можем найти с помощью уравнения высоты, опущенной из точки D на плоскость АВС․ Уравнение высоты можно записать в виде⁚ (x ー x0) / a (y ー y0) / b (z ー z0) / c 0, где (x0, y0, z0) ー координаты точки D, a, b и c ⏤ координаты вектора нормали к плоскости АВС․ Нормаль к плоскости АВС равна векторному произведению векторов AB и AC․ Подставляем значения и находим коэффициенты a, b и c, а затем рассчитываем высоту․
5) Уравнение ребра АВ можно записать в виде⁚ (x ⏤ x1) / (x2 ⏤ x1) (y ⏤ y1) / (y2 ⏤ y1) (z ⏤ z1) / (z2 ⏤ z1), где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) ー координаты вершин ребра АВ․ Подставляем известные значения и уравнение ребра АВ готово․
6) Для нахождения уравнения плоскости АВС воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через 3 точки․ У нас уже есть координаты трех точек А, В и С․ Подставляем значения и уравнение плоскости АВС готово․
7) Уравнение высоты, опущенной из точки Д на плоскость АВС, можно записать по аналогии с уравнением ребра АВ, но уже с использованием координат вершин ребра AD и точки С․ Подставляем значения и уравнение высоты готово․
Надеюсь, эта информация будет полезной! Удачи в решении задачи!