В данной статье я расскажу о своем опыте работы с координатами вершин треугольника ABC и решении различных задач, связанных с этим треугольником.а) Для начала определим длину стороны AB. Для этого нужно использовать формулу нахождения расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат⁚
AB √((x2 ⸺ x1)² (y2 ー y1)²)
Зная координаты точек A(-1;4) и B(11;-5), мы можем подставить их значения в формулу⁚
AB √((11 ー (-1))² (-5 ⸺ 4)²)
AB √((12)² (-9)²)
AB √(144 81)
AB √225
AB 15
Таким образом, длина стороны AB равна 15.Теперь перейдем к нахождению уравнения стороны AB. Для этого можно использовать формулу прямой в общем виде⁚
y kx b,
где k ⸺ угловой коэффициент, а b ⸺ свободный член.Для начала определим угловой коэффициент k. Он вычисляется по формуле⁚
k (y2 ー y1) / (x2 ー x1).Подставим значения координат точек A и B⁚
k (-5 ⸺ 4) / (11 ⸺ (-1))
k -9 / 12
k -3/4
Следовательно, угловой коэффициент стороны AB равен -3/4.Для определения свободного члена b, подставим одну из точек, например, A(-1;4), в уравнение прямой⁚
4 (-3/4)(-1) b
4 3/4 b
b 16/4 ー 3/4
b 13/4
Таким образом, уравнение стороны AB имеет вид y (-3/4)x 13/4.б) Для нахождения уравнения прямой, проходящей через вершину С и параллельной стороне AB, мы можем использовать уравнение прямой в общем виде, но вместо углового коэффициента k, будем использовать уже известное значение -3/4.Подставим координаты точки C(15;17) и угловой коэффициент k -3/4 в формулу⁚
y (-3/4)x b.Теперь нам нужно определить свободный член b. Для этого подставим точку C в уравнение прямой⁚
17 (-3/4)(15) b
17 -45/4 b
b 68/4 45/4
b 113/4
Таким образом, уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне AB, имеет вид y (-3/4)x 113/4.
в) Перейдем к нахождению уравнения высоты CD и ее длины; Высота перпендикулярна стороне AB и проходит через вершину C.Если сторона AB имеет уравнение y (-3/4)x 13/4٫ то прямая٫ перпендикулярная ей٫ будет иметь уравнение вида y (4/3)x b.Для определения свободного члена b٫ подставляем координаты точки C(15;17)⁚
17 (4/3)(15) b
17 60/3 b
17 20 b
b -3
Таким образом, уравнение высоты CD имеет вид y (4/3)x ⸺ 3.Для нахождения длины высоты CD воспользуемся формулой для расстояния между точкой и прямой⁚
HC |Ax By C| / √(A² B²),
где A, B, C ⸺ коэффициенты уравнения прямой, прямой у которой ищется высота, и x, y ー координаты вершины треугольника, через которую проходит высота (C(15;17)).Подставим значения A 4/3, B -1, C -3, x 15, y 17 в формулу⁚
HC |(4/3)(15) (-1)(17) (-3)| / √((4/3)² (-1)²)
HC |20 ⸺ 17 ⸺ 3| / √(16/9 1)
HC |0| / √(16/9 1)
HC 0 / √(25/9)
HC 0 / (5/3)
HC 0
Таким образом, длина высоты CD равна 0.г) Перейдем к нахождению уравнения медианы AE и координат точки К, пересечения медианы с высотой CD. Медиана AE проходит через вершину A и точку E, которая является серединой стороны BC.Для начала определим координаты точки Е, используя формулу середины отрезка⁚
Ex (Bx Cx) / 2,
Ey (By Cy) / 2.Подставим значения координат точек B(11;-5) и C(15;17)⁚
Ex (11 15) / 2 26 / 2 13,
Ey (-5 17) / 2 12 / 2 6.Таким образом, координаты точки E равны E(13;6).Угловой коэффициент медианы AE будет равен отношению разности y-координат точек A и E к разности x-координат⁚
k (yA ー yE) / (xA ー xE)
(4 ⸺ 6) / (-1 ⸺ 13)
-2 / (-14)
1 / 7.Теперь у нас есть угловой коэффициент и координаты точки A٫ поэтому можем записать уравнение медианы AE в общем виде⁚
y kx b.Для определения свободного члена b, подставим координаты точки A(-1;4) и угловой коэффициент k 1/7:
4 (1/7)(-1) b
4 -1/7 b
b 29/7.Таким образом, уравнение медианы AE имеет вид y (1/7)x 29/7.Теперь найдем координаты точки K, пересечения медианы AE с высотой CD. Для этого решим систему уравнений медианы AE и высоты CD⁚
y (1/7)x 29/7,
y (4/3)x ー 3.Приравниваем выражения для y⁚
(1/7)x 29/7 (4/3)x ⸺ 3.Упростим уравнение, умножив обе его части на 21⁚
3x 87 28x ⸺ 63.Получаем⁚
28x ー 3x -63 ー 87,
25x -150٫
x -150 / 25,
x -6.Подставляем найденное значение x в одно из уравнений⁚
y (4/3)(-6) ⸺ 3,
y -8 ー 3٫
y -11.Таким образом, координаты точки К равны X(-6;-11).д) Для нахождения угла между прямыми AB и AE можно использовать формулу⁚
tg α |k1 ⸺ k2| / (1 k1 * k2),
где k1 и k2 ー угловые коэффициенты прямых.Угловой коэффициент прямой AB равен -3/4, а угловой коэффициент прямой AE равен 1/7.Подставим эти значения в формулу⁚
tg α |(-3/4) ー (1/7)| / (1 (-3/4) * (1/7))
|(-21/28) ⸺ (4/28)| / (1 (-3/4) * (1/7))
|-25/28| / (1 ⸺ 3/28)
25/28 / (28/28 ー 3/28)
25/28 / 25/28
1.
Таким образом, угол между прямыми AB и AE равен 45°.
В данной статье я поделился своим опытом решения задач, связанных с координатами вершин треугольника ABC. Я нашел длину стороны AB, ее уравнение и угловой коэффициент, уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ, уравнение высоты CD и ее длину, уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD, а также угол между прямыми AB и AE.