Привет!
Недавно я решил задачу, связанную с уравнениями прямых и плоскостей, и с удовольствием расскажу тебе о своем опыте!В задаче были даны уравнения прямых l1 и l2٫ и мы должны были выполнить несколько заданий.1) Первое задание заключалось в том٫ чтобы убедиться٫ что прямые l1 и l2 скрещиваются. Для этого нужно найти точку пересечения этих прямых. Для начала я записал параметрические уравнения прямых l1 и l2⁚
l1⁚ x -2t, y 14t 2, z -5t 1
l2⁚ x 5s — 1, y -14s 3, z 2s 6
Затем я решил систему уравнений, полученную из равенства координат⁚
-2t 5s ౼ 1
14t 2 -14s 3
-5t 1 2s 6
Решив эту систему, я получил значения t -2 и s -1. Подставив эти значения обратно в уравнения прямых, я нашел точку пересечения прямых l1 и l2⁚ P(-2, 30, -7). Таким образом, прямые l1 и l2 действительно скрещиваються.2) Второе задание состояло в составлении уравнения плоскости п, проходящей через прямую l1 параллельно прямой l2. Чтобы решить это задание, я использовал точку пересечения прямых P(-2, 30, -7). Уравнение плоскости п может быть задано в виде ax by cz d 0, где (a, b, c), нормальный вектор плоскости.
Нормальный вектор плоскости можно получить как векторное произведение направляющих векторов прямой l1 и нормального вектора прямой l2. Направляющим вектором прямой является коэффициенты при t в уравнении прямой. Получаю следующий вектор⁚
l1⁚ (-2, 14, -5)
l2⁚ (5, -14, 2)
Нормальный вектор плоскости получается как векторное произведение векторов l1 и l2⁚ (14*2 — (-5)*(-14), (-2)*2, (-5)*5, (-2)*(-14), 14*(-5)) (48, -21, -72)
Теперь мы можем записать искомое уравнение плоскости⁚
48x — 21y ౼ 72z d 0
Для нахождения значения d мы можем подставить координаты точки P(-2, 30, -7)⁚
48*(-2) ౼ 21*30, 72*(-7) d 0
-96 ౼ 630 504 d 0
d 222
Таким образом, уравнение плоскости п имеет вид⁚ 48x — 21y — 72z 222 0.3) Третье задание заключалось в нахождении расстояния между прямыми l1 и l2. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми можно найти как расстояние между точкой на одной прямой и ближайшей точкой на другой прямой. Чтобы решить это задание, нужно найти точку на прямой l1, ближайшую к прямой l2.Запишем координаты точки на прямой l1 в параметрической форме⁚
l1⁚ x -2t, y 14t 2, z -5t 1
Мы также можем записать координаты точки на прямой l2, ближайшей к прямой l1, в параметрической форме⁚
l2⁚ x -1 5s, y 3, 14s, z 6 2s
Для нахождения точки на прямой l1, ближайшей к прямой l2, нужно приравнять параметрические формы x, y и z и решить систему уравнений⁚
-2t -1 5s
14t 2 3٫ 14s
-5t 1 6 2s
Решив эту систему, я получил значения t -1 и s -0.2. Подставив эти значения обратно в уравнения прямых, я нашел точку Q(-1, 4, 6.4).Теперь мы можем найти расстояние между прямыми l1 и l2, используя формулу для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве⁚
d sqrt((x2٫ x1)^2 (y2٫ y1)^2 (z2 ౼ z1)^2)
Подставив координаты точек P и Q, я нашел расстояние между прямыми l1 и l2⁚
d sqrt(((-2) — (-1))^2 (30, 4)^2 (-7 ౼ 6.4)^2)
d sqrt(1 676 169.44)
d sqrt(846.44)
d ≈ 29.09
Таким образом, расстояние между прямыми l1 и l2 примерно равно 29.09.
4) Четвертое задание требовало составить канонические уравнения общего перпендикуляра h прямых l1 и l2. Общий перпендикуляр к двум пересекающимся прямым ౼ это прямая٫ перпендикулярная к обеим прямым.Направляющие векторы прямых l1 и l2 были найдены в первом задании⁚ (-2٫ 14٫ -5) и (5٫ -14٫ 2) соответственно.Для построения общего перпендикуляра я воспользовался их векторным произведением⁚
h (-2٫ 14٫ -5) x (5٫ -14٫ 2) (-130٫ -15٫ -72)
Теперь мы можем записать уравнение общего перпендикуляра в параметрической форме, используя координаты точки пересечения прямых P(-2, 30, -7)⁚
h⁚ x -2 (-130)t٫ y 30 (-15)t٫ z -7 (-72)t
Таким образом, каноническое уравнение общего перпендикуляра h прямых l1 и l2 имеет вид⁚ x -2 — 130t, y 30 ౼ 15t, z -7 ౼ 72t.
Это было очень интересное задание, и я с удовольствием разобрался с уравнениями прямых, плоскостей и нахождением расстояния между ними. Надеюсь, что мой опыт поможет и тебе разобраться в этих темах!