Привет! Меня зовут Алексей‚ и с удовольствием расскажу тебе о смешанном‚ векторном и скалярном произведении векторов‚ а также о коллинеарности и перпендикулярности.а) Начнем с вычисления смешанного произведения векторов a‚ b и c. Смешанное произведение определяется как определитель матрицы‚ составленной из координат векторов. Для нашей задачи матрица будет иметь следующий вид⁚
| -4 2 -3 |
| 0 -3 5 |
| 6 6 -4 |
Теперь найдем определитель этой матрицы⁚
-4 * (-3) * (-4) 2 * 5 * 6 (-3) * 0 * 6 ー 6 * (-3) * (-3) ー (-4) * 5 * 0 ‒ 2 * 0 * (-4)
-48 60 0 54 0 0
66
Значение смешанного произведения равно 66. Теперь перейдем к определению компланарности векторов. Векторы a‚ b и c будут компланарными‚ если смешанное произведение равно нулю. В нашем случае смешанное произведение не равно нулю‚ поэтому векторы a‚ b и c не компланарны.б) Теперь рассчитаем векторное произведение векторов a и c. Векторное произведение определяется как произведение модулей векторов на синус угла между ними и единичного вектора‚ перпендикулярного плоскости‚ образованной векторами a и c. Формула для векторного произведения выглядит следующим образом⁚
a x c |i j k |
|-4 2 -3 |
| 6 6 -4 |
Из этой формулы мы можем вычислить каждую из компонент вектора при помощи определителей⁚
(a x c)x 2 * (-4) ー 6 * 6 -44
(a x c)y (-4) * (-4) ‒ 6 * (-3) -16
(a x c)z (-4) * 6 ー 2 * (-3) -12
Таким образом‚ векторное произведение векторов a и c равно -44i ー 16j ー 12k.в) Перейдем к скалярному произведению векторов a и b. Скалярное произведение определяется как сумма произведений соответствующих компонент векторов. Для нашей задачи имеем⁚
a * b (-4) * 0 2 * (-3) (-3) * 5 -6 ‒ 6 ‒ 15 -27
Значение скалярного произведения равно -27. Теперь найдем угол между векторами a и b. Для этого воспользуемся формулой⁚
cos(theta) (a * b) / (|a| * |b|)
где theta ‒ угол между векторами‚ |a| и |b| ‒ модули векторов. В нашем случае⁚
cos(theta) -27 / (sqrt((-4)^2 2^2 (-3)^2) * sqrt(0^2 (-3)^2 5^2))
cos(theta) -27 / (sqrt(29) * sqrt(34)) ≈ -0.331
Теперь найдем угол theta⁚
theta arccos(-0.331) ≈ 1.91 радиан (или примерно 109.53 градуса)
г) Наконец‚ проверим‚ будут ли векторы a и c коллинеарны или перпендикулярны. Векторы называются коллинеарными‚ если их скалярное произведение равно произведению их модулей. В нашем случае⁚
|a| * |c| sqrt((-4)^2 2^2 (-3)^2) * sqrt(6^2 6^2 (-4)^2) ≈ 11.57 * 10 ≈ 115.7
(a * c) (-4) * 6 2 * 6 (-3) * (-4) -24 12 12 0
Значения не совпадают‚ поэтому векторы a и c не являются коллинеарными; Это означает‚ что они должны либо быть перпендикулярными‚ либо иметь общую плоскость.
Вот и все! Надеюсь‚ эта информация была полезной и помогла тебе разобраться с данными векторами и их свойствами. Если у тебя остались какие-либо вопросы‚ не стесняйся и задавай их!