Здравствуйте! Меня зовут Алексей, и я расскажу вам о том, сколько существует интересных девятизначных натуральных чисел.Интересными называются девятизначные натуральные числа, которые удовлетворяют трём условиям⁚ они состоят из ненулевых цифр, делятся на 4 и любое число٫ получаемое из них путём перестановки цифр٫ также делится на 4.
Для решения этой задачи нужно рассмотреть каждое из условий по отдельности.
Начнем с первого условия⁚ число должно состоять из ненулевых цифр. В девятизначном числе может быть девять цифр, причем каждая из них может принимать значение от 1 до 9. Таким образом, у нас есть 9 возможных вариантов для каждой позиции числа. Учитывая это, мы можем использовать простое сочетание без повторений⁚ C(9,9) 9!.Второе условие говорит о том, что число должно делиться на 4. Чтобы число было кратно 4, его последние две цифры должны составлять число, кратное 4. Количество двузначных чисел, кратных 4, можно определить так⁚ из 99 чисел, которые могут составлять последние две цифры, 25 из них будут кратны 4 (например, 04, 08, 12, и т.д.). Таким образом, у нас есть 25 возможных вариантов для двух последних цифр числа.Третье условие состоит в том, чтобы любое число, полученное из перестановки цифр исходного числа, также делилось на 4. Здесь нам поможет то, что число девятизначное. Так как число делится на 4, его последние две цифры уже определены. А значит, у нас осталось переставить 7 цифр, чтобы получить все возможные числа. Используя формулу для сочетания без повторений, C(7,7) 7!, нам вновь даст 5040 возможных вариантов.
Таким образом, общее количество интересных чисел можно определить, перемножив количество вариантов для каждого условия⁚ 9! * 25 * 7! 3267025600.
Итак, существует 3 267 025 600 интересных девятизначных натуральных чисел.