Докажите справедливость отношений a) и б) используя метод, основанный на определениях операций теории множеств.а) (A∩B)(C∪D)(AC)∩(BD)
Чтобы доказать это равенство, воспользуемся определениями операций теории множеств.Пусть x ⎻ произвольный элемент множества (A∩B)(C∪D). Тогда, согласно определению пересечения (A∩B), x принадлежит и множеству A, и множеству B. Аналогично, согласно определению объединения (C∪D), x принадлежит и множеству C, и множеству D.
Таким образом, x принадлежит и множеству AC, и множеству BD. Согласно определению пересечения (AC)∩(BD), x принадлежит и (AC)∩(BD). Таким образом, каждый элемент множества (A∩B)(C∪D) принадлежит множеству (AC)∩(BD). Теперь докажем обратное включение. Пусть x ⎻ произвольный элемент множества (AC)∩(BD). Согласно определению пересечения (AC)∩(BD), x принадлежит и множеству AC, и множеству BD. Следовательно, x принадлежит как множеству A, так и множеству C, а также множеству B и множеству D. Согласно определению объединения (C∪D), x принадлежит множеству (B∪C). Аналогично, согласно определению пересечения (A∩B), x принадлежит и множеству (A∩B). Таким образом, каждый элемент множества (AC)∩(BD) принадлежит множеству (A∩B)(C∪D). Так как мы доказали включение в обе стороны, то равенство a) (A∩B)(C∪D)(AC)∩(BD) доказано.
б) A∩(B∪C)⸦((A∩B)∪C)
Для доказательства этого равенства, воспользуемся определениями операций теории множеств.Пусть x ⎻ произвольный элемент множества A∩(B∪C). Тогда, согласно определению пересечения A∩(B∪C), x принадлежит и множеству A, и множеству (B∪C).
Согласно определению объединения (B∪C), x принадлежит множеству B или множеству C. Таким образом, x либо принадлежит множеству A и B, либо принадлежит множеству A и C.
Согласно определению пересечения (A∩B), x принадлежит множеству (A∩B), и согласно определению объединения (A∩B)∪C, x принадлежит множеству ((A∩B)∪C).Таким образом, каждый элемент множества A∩(B∪C) также принадлежит множеству ((A∩B)∪C).Теперь докажем обратное включение. Пусть x ⎻ произвольный элемент множества ((A∩B)∪C). Тогда, согласно определению объединения ((A∩B)∪C), x принадлежит множеству (A∩B) или множеству C.
Согласно определению пересечения A∩(B∪C), x принадлежит и множеству A, и множеству (B∪C).
Таким образом, каждый элемент множества ((A∩B)∪C) также принадлежит множеству A∩(B∪C).
Так как мы доказали включение в обе стороны, то равенство б) A∩(B∪C)⸦((A∩B)∪C) доказано.
Таким образом, мы доказали справедливость отношений а) и б) с использованием метода, основанного на определениях операций теории множеств.