Привет, я Максим, и сегодня я хочу поделиться своим опытом исследования функции двух переменных на экстремум. Функция, которую я выбрал, выглядит следующим образом⁚
𝑧 2𝑥^3 − 𝑥𝑦^2 5𝑥^2 𝑦^2.Исследование функции на экстремум ⸺ это процесс нахождения точек٫ где функция достигает своего максимума или минимума. Чтобы начать это исследование٫ я использовал частные производные функции по каждой переменной٫ 𝑥 и 𝑦.
Для нашей функции, частная производная по 𝑥 будет⁚
𝑑𝑧/𝑑𝑥 6𝑥^2 10𝑥.А частная производная по 𝑦⁚
𝑑𝑧/𝑑𝑦 -2𝑥𝑦 2𝑦.Теперь нам нужно найти точки, где оба этих выражения равны нулю, так как в этих точках функция может иметь экстремальные значения. Я решил систему уравнений⁚
6𝑥^2 10𝑥 0٫
-2𝑥𝑦 2𝑦 0.
Один из способов решения этой системы ⸺ это вынести 𝑥 и 𝑦 за скобку⁚
𝑥(6𝑥 10) 0,
𝑦(-2𝑥 2) 0.Отсюда мы получаем две возможные точки экстремума⁚
1. 𝑥 0, 𝑦 0.
2. 6𝑥 10 0, что дает 𝑥 -5/3, а затем -2𝑥 2 0, что дает 𝑦 1.
Теперь, чтобы понять, является ли каждая из этих точек экстремумом, необходимо применить вторую производную тест. Я вычислил вторые производные для нашей функции⁚
𝑑^2𝑧/𝑑𝑥^2 12𝑥 10٫
𝑑^2𝑧/𝑑𝑥𝑦 -2𝑦٫
𝑑^2𝑧/𝑑𝑦^2 2.Теперь подставим значения переменных во вторые производные, чтобы определить характер точек⁚
1. При 𝑥 0, 𝑦 0⁚
⸺ 𝑑^2𝑧/𝑑𝑥^2 0 10 10 (положительное число),
— 𝑑^2𝑧/𝑑𝑥𝑦 -2(0) 0,
— 𝑑^2𝑧/𝑑𝑦^2 2 (положительное число).
Исходя из этого, данная точка (0, 0) является экстремумом.2. При 𝑥 -5/3, 𝑦 1⁚
⸺ 𝑑^2𝑧/𝑑𝑥^2 12(-5/3) 10 -50/3 (отрицательное число),
— 𝑑^2𝑧/𝑑𝑥𝑦 -2(1) -2 (отрицательное число)٫
— 𝑑^2𝑧/𝑑𝑦^2 2 (положительное число).
Исходя из этого, данная точка (-5/3, 1) не является экстремумом.
Таким образом, единственной точкой экстремума для нашей функции является точка (0٫ 0).
Это был мой личный опыт и исследование функции на экстремум. Я надеюсь, что этот опыт поможет и вам в изучении математики и понимании процесса исследования функций. Удачи вам!