Привет! Меня зовут Алексей‚ и сегодня я расскажу тебе‚ как оценить математическое ожидание а нормально распределенного признака генеральной совокупности с помощью доверительного интервала‚ основываясь на выборке объемом 12.Для начала‚ давай разберемся‚ что такое математическое ожидание и доверительный интервал. Математическое ожидание представляет собой среднее значение случайной величины в генеральной совокупности. Доверительный интервал‚ в свою очередь‚ указывает на то‚ с какой вероятностью действительное значение математического ожидания находится в указанном интервале.Для оценки математического ожидания с использованием доверительного интервала нам понадобятся значения выборки и частоты. Исходя из заданных значений‚ имеем выборку объемом 12⁚
х -0‚5‚ -0‚4‚ -0‚2‚ 0‚ 0‚2‚ 0‚6‚ 0‚8‚ 1‚ 1‚2‚ 1‚5.Также у нас есть частота п⁚
1‚ 2‚ 1‚ 1‚ 1‚ 1‚ 1‚ 1‚ 2‚ 1.Теперь приступим к оценке математического ожидания с помощью доверительного интервала с надежностью 0‚95. Для этого нам понадобится некоторая статистическая информация о выборке.Сначала найдем среднее значение (x̄) и стандартное отклонение (s) выборки. Среднее значение можно найти‚ просто посчитав среднее арифметическое⁚
x̄ (х₁ х₂ ... хn) / n.В нашем случае⁚
x̄ (-0‚5 ─ 0‚4 ─ 0‚2 0 0‚2 0‚6 0‚8 1 1‚2 1‚5) / 12. 5‚2 / 12
0‚43.Далее‚ по формуле‚ стандартное отклонение можно найти как⁚
s √((Σ(хᵢ ─ x̄)² * pᵢ) / (n ─ 1)).где Σ ౼ сумма для i от 1 до n.Выполняя вычисления‚ получим⁚
s √(((х₁ ─ x̄)² * p₁ (х₂ ౼ x̄)² * p₂ ... (хn ౼ x̄)² * pn) / (n ౼ 1)).Для нашей выборки⁚
s √(((-0‚5 ─ 0‚43)² * 1 (-0‚4 ౼ 0‚43)² * 2 ... (1‚5 ─ 0‚43)² * 1) / (12 ─ 1)). √((0‚1843 0‚0943 ... 0‚7033) / 11). √(1‚1686 / 11). √0‚1062. 0‚326.
Теперь мы можем оценить математическое ожидание с помощью доверительного интервала. Формула для доверительного интервала для математического ожидания задается следующим образом⁚
Доверительный интервал x̄ ± t * (s / √n)‚
где t ౼ критическое значение‚ связанное с надежностью и степенями свободы (в данном случае n-1) и определяется с использованием таблиц.
Допустим‚ что мы будем использовать надежность 0‚95. Таким образом‚ у нас есть 95% вероятность того‚ что действительное значение математического ожидания будет находиться в указанном интервале.Из таблицы определяем значение t‚ связанное с надежностью 0‚95 и степенями свободы 11. В данном случае‚ t ≈ 2‚201.Теперь мы можем рассчитать доверительный интервал⁚
Доверительный интервал 0‚43 ± 2‚201 * (0‚326 / √12). 0‚43 ± 2‚201 * 0‚094. 0‚43 ± 0‚207. Итак‚ доверительный интервал для математического ожидания с надежностью 0‚95 составляет от 0‚223 до 0‚637. Таким образом‚ мы можем с уверенностью в 95% утверждать‚ что математическое ожидание а нормально распределенного признака генеральной совокупности находится в диапазоне от 0‚223 до 0‚637.
Надеюсь‚ эта информация была полезной для тебя. Если у тебя есть еще вопросы‚ не стесняйся задавать их!