Максим Максимыч стал упрашивать меня остаться с ним еще часа два. Весь день мы провели вместе‚ и когда пришло время расставаться‚ мне было так тяжело уходить. Максим Максимыч был таким интересным и веселым собеседником‚ что я и сам с удовольствием остался еще на некоторое время.
Сказуемое в предложении ″Максим Максимыч стал его упрашивать остаться с ним еще часа два″ ‒ ″упрашивать″. В данном случае‚ сказуемое имеет несовершенный вид‚ так как действие (упрашивание) продолжается в течение некоторого времени. Это подтверждается словами ″еще часа два″‚ которые указывают на продолжительность действия.