Мне очень нравится использовать метод координат в пространстве для решения задач на векторы. Он позволяет наглядно представить векторы и просто работать с их координатами. В данной статье я хотел бы рассмотреть несколько задач, чтобы показать, как этот метод может быть полезен. В первой задаче нам даны точки A (1;2;3), B (3;2;-1) и C (5;8;-1). Нам нужно найти координаты векторов AB и BC. Для этого мы вычитаем из координат точки B координаты точки A (или точки C) соответственно. Получаем вектор AB с координатами (2;0;-4) и вектор BC с координатами (2;6;0). Далее в этой же задаче нам нужно найти абсолютную величину вектора AC. Это делается с помощью формулы sqrt(x^2 y^2 z^2), где x, y, z ─ координаты вектора AC. В нашем случае, координаты вектора AC равны (4;6;-4), поэтому абсолютная величина вектора AC равна sqrt(4^2 6^2 (-4)^2) sqrt(16 36 16) sqrt(68) ≈ 8.25. Во второй задаче нам даны векторы a (3;-4;-3) и b (-5;2;-4), и нам нужно найти координаты вектора c 4a 2b. Для этого мы умножаем каждую координату вектора a на 4 и каждую координату вектора b на 2, а затем складываем результаты. Получаем вектор c с координатами (12; -16; -10). В третьей задаче нам нужно найти значение параметра n, при котором векторы a (-7;-n;3) и b (1;5;n) будут перпендикулярны. Для этого мы используем свойство перпендикулярности векторов, которое гласит, что скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю. Поэтому мы вычисляем скалярное произведение векторов a и b, уравниваем его к нулю и решаем полученное уравнение относительно параметра n. В итоге получаем, что n -6.
В четвертой задаче нам нужно найти значения параметров m и k, при которых векторы c (14; m;-3) и d (-6;3;k) коллинеарны. Два вектора коллинеарны, если они пропорциональны. Поэтому мы делим координату вектора c на соответствующую координату вектора d и устанавливаем полученные два равенства равными друг другу. Решая полученную систему уравнений относительно m и k, мы получаем множество значений для этих параметров.В пятой задаче нам даны точки A (2;1;5), B (0;-1;1) и C (2;1;3), которые являются вершинами параллелограмма ABCD. Нам нужно найти координаты вершины D и длину сторон параллелограмма. Для этого мы используем свойство параллелограмма, которое гласит, что сумма двух противоположных сторон равна нулю. Мы вычисляем векторы AB и BC, суммируем их и получаем вектор AD. Далее мы находим точку D, сложив координаты точки A и координаты вектора AD. Затем мы вычисляем длины сторон параллелограмма, используя формулу sqrt(x^2 y^2 z^2), где x, y, z ─ координаты соответствующего вектора.
В шестой задаче нам нужно найти градусную меру угла М треугольника MNT, имея координаты точек M (1;-1;3), N (3;-1;1) и T (-1;1;3). Для этого мы используем формулу cos(угол) (a * b) / (|a| * |b|), где a и b ⎼ векторы, образующие данный угол. Мы вычисляем векторы MN и MT, умножаем их координаты друг на друга и затем делим это произведение на произведение абсолютных величин векторов MN и MT. Полученное число является косинусом угла М. Далее мы находим арккосинус от полученного значения и переводим результат из радианов в градусы.
Метод координат в пространстве ⎼ отличный инструмент для решения задач на векторы. Он позволяет наглядно представить векторы и упрощает вычисления. Я сам многократно использовал этот метод и всегда получал точные и понятные ответы. Вам также рекомендую попробовать его при решении задач по векторам ⎼ уверен, вы оцените его простоту и эффективность.