Когда я столкнулся с этой задачей, я решил использовать метод раскрытия скобок и правила де Моргана, чтобы решить ее․ В данной задаче нам необходимо найти наименьшую возможную длину отрезка A, для которого данная формула тождественно истинна;Давайте начнем с раскрытия скобок в формуле․ Нам дана импликация (→), которую можно заменить на дизъюнкцию (∨) и отрицание (¬)․ Поэтому формула теперь принимает следующий вид⁚
¬(x ∈ Q) ∨ ((x ∈ P) ∨ (x ∈ R)) → (¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ Q))
Далее, применим правила де Моргана․ Отрицание (¬) будет распространяться на каждое множество⁚
(¬(x ∈ Q) ∨ (x ∈ P) ∨ (x ∈ R)) → (¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ Q))
Затем применим правило ассоциативности для дизъюнкции (∨)․ Формула будет выглядеть так⁚
(¬(x ∈ Q) ∨ (x ∈ P ∪ R)) → (¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ Q))
Теперь применим закон де Моргана для импликации (→)․ Заменим его на конъюнкцию (∧) и отрицание (¬)⁚
¬((¬(x ∈ Q) ∨ (x ∈ P ∪ R)) ∧ ¬(¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ Q)))
Используя правило де Моргана для конъюнкции (∧), раскроем скобки⁚
(¬(¬(x ∈ Q)) ∧ ¬(x ∈ P ∪ R)) ∨ (¬(¬(x ∈ A)) ∧ ¬(¬(x ∈ Q)))
Применим двойное отрицание․ Заменим ¬(¬(x ∈ Q)) и ¬(¬(x ∈ A)) на (x ∈ Q) и (x ∈ A) соответственно⁚
(x ∈ Q ∧ ¬(x ∈ P ∪ R)) ∨ (x ∈ A ∧ (x ∈ Q))
Затем применим закон дистрибутивности для конъюнкции (∧) по отношению к дизъюнкции (∨)⁚
(x ∈ Q ∧ ¬(x ∈ P ∪ R)) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ Q)
Теперь, предположим, что наименьшая возможная длина отрезка A равна d․ Значит, A будет включать в себя точки от Q до Q d․
Учитывая это предположение, давайте продолжим расчет․ Выберем конкретные значения для Q⁚ Q [18; 80]․ Тогда у нас будет следующее⁚
(x ∈ [18; 80] ∧ ¬(x ∈ P ∪ R)) ∨ (x ∈ [18; 18 d] ∧ x ∈ [18; 80])
Затем рассмотрим условие ¬(x ∈ P ∪ R); Отрезки P [13; 31] и R [48; 114]٫ поэтому ¬(x ∈ P ∪ R) будет верно для x٫ которые не принадлежат отрезкам P и R․ Получим⁚
(x ∈ [18; 80] ∧ (x < 13 ∨ x > 31) ∧ (x < 48 ∨ x > 114)) ∨ (x ∈ [18; 18 d] ∧ x ∈ [18; 80])
Теперь проведем упрощение․ Во-первых, учтем условие x ∈ [18; 80]⁚
(x ∈ [18; 80] ∧ (x < 13 ∨ x > 31) ∧ (x < 48 ∨ x > 114)) ∨ (x ∈ [18; 18 d])
Теперь рассмотрим условие x < 13 ∨ x > 31․ Это условие верно только для x, которые не принадлежат отрезку P [13; 31]․ Получим⁚
(x ∈ [18; 80] ∧ (x < 48 ∨ x > 114)) ∨ (x ∈ [18; 18 d] ∧ x ∈ [18; 80])
И, наконец, рассмотрим условие x < 48 ∨ x > 114․ Это условие верно только для x, которые не принадлежат отрезку R [48; 114]․ Получим⁚
(x ∈ [18; 80]) ∨ (x ∈ [18; 18 d] ∧ x ∈ [18; 80])
Наименьшая возможная длина отрезка A будет тогда, когда (x ∈ [18; 80]) не влияет на истинность формулы․ Исходя из этого٫ наименьшая возможная длина отрезка A будет равна⁚
A [18; 18]
В результате, наименьшая возможная длина отрезка A, для которого формула тождественно истинна, равна нулю․