На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды собрались на заседание 56 жителей острова, среди которых было k лжецов (k⩾4). Все лжецы по очереди сделали заявления⁚
Первый лжец⁚ «Среди нас рыцарей меньше, чем лжецов»,
Второй лжец⁚ «Среди нас рыцарей столько же, сколько лжецов»,
Третий лжец⁚ «Среди нас рыцарей на 1 больше, чем лжецов»,
Четвёртый лжец⁚ «Среди нас рыцарей на 2 больше, чем лжецов»,
…
Последний лжец⁚ «Среди нас рыцарей на (k−2) больше, чем лжецов». Задача состоит в том, чтобы определить наибольшее возможное значение k. Давайте разберемся. Пусть всего на острове живет m рыцарей и n лжецов. Первое заявление лжеца может быть верным только в том случае, если среди лжецов больше, чем рыцарей, то есть n > m.
Второе заявление лжеца может быть верным только в том случае, если среди лжецов и рыцарей одинаковое количество, то есть n m.
Третье заявление лжеца может быть верным только в том случае, если среди рыцарей больше, чем лжецов на 1, то есть m > n 1.
Четвертое заявление лжеца может быть верным только в том случае, если среди рыцарей больше, чем лжецов на 2, то есть m > n 2.И так далее.Заметим, что в каждом следующем заявлении лжеца количество рыцарей должно увеличиватся на 1, тогда как количество лжецов должно уменьшаться на 1. Исходя из этого наблюдения, мы можем записать все заявления лжецов в виде системы уравнений⁚
n > m
n m 1
n m 2
…
n m (k−2)
Решая эту систему уравнений, мы получаем значения переменных n и m⁚
n m (k−2)
m 2k − 2
Теперь мы можем найти наибольшее возможное значение k, подставив значение m 2k − 2 в систему уравнений⁚
n (2k − 2) (k−2) 3k − 4
Поскольку общее количество жителей на острове равно 56, мы можем записать следующее уравнение⁚
m n 56
2k − 2 3k − 4 56
5k − 6 56
5k 62
k 12.4
Так как k должно быть целым числом, наибольшее возможное значение k равно 12.