Мне приходилось сталкиваться с подобными задачами в процессе обучения геометрии, поэтому могу поделиться своим опытом. Для решения данной задачи нам понадобится использовать свойства касательной и окружности, а также теорему Пифагора. Вспомним, что радиус окружности, касающейся стороны треугольника, будет перпендикулярен этой стороне. Таким образом, мы можем построить высоту из вершины прямого угла на большую сторону прямоугольного треугольника и соединить ее с концами меньших сторон. Известно, что одна меньшая сторона равна 13, а вторая 84. Обозначим эти стороны как a и b соответственно. Тогда высота треугольника, проведенная из вершины прямого угла, будет равна a b. Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. То есть (a b)^2 a^2 b^2.
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые⁚ a^2 2ab b^2 a^2 b^2. Теперь выразим радиус окружности r, используя известную формулу для высоты⁚ r (a b) / 2. Подставим это выражение в уравнение⁚ (a^2 2ab b^2) / 4 a^2 b^2. Домножим обе части уравнения на 4 и сведем подобные слагаемые⁚ a^2 2ab b^2 4a^2 4b^2. Получим нелинейное уравнение 3a^2 ー 2ab 3b^2 0.
Теперь решим его, найдя значения a и b. Подставим изначальные данные⁚ a 13, b 84.
3 * 13^2 ー 2 * 13 * 84 3 * 84^2 0.
Получили числовое значение, которое можем решить с помощью калькулятора или компьютера. Выходит, что данное уравнение не имеет решений.
Таким образом, задача не имеет решения, и мы не можем найти радиус окружности, касающейся меньшей стороны и продолжений двух других сторон прямоугольного треугольника.