Моя история началась с интересного математического вопроса⁚ как найти расстояние между двумя параллельными прямыми? Я решил разобраться в этом и применить полученные знания на практике․ Таким образом‚ я выбрал две параллельные прямые с уравнениями -3x 4y 110 и -3x 4y-190 и начал свое исследование․
Первым шагом было определить направляющий вектор для этих прямых․ Для этого я взял коэффициенты при x и y и получил вектор \(\vec{v} \begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}\)․ Этот вектор указывает направление прямых и параллельен им․Затем я выбрал любую точку на одной из прямых․ Для удобства вычислений я выбрал точку (0‚ 0)‚ так как она лежит на обеих прямых․ Теперь у меня была точка A (0‚ 0) и вектор направления \(\vec{v}\)․Далее я воспользовался формулой для нахождения расстояния между точкой и прямой⁚
\[d \frac{{\|\vec{v} \times \vec{A}\|}}{{\|\vec{v}\|}}\]
где \(\vec{A}\) ⸺ вектор от точки A до любой точки на второй прямой‚ \(\times\) ⸺ векторное произведение двух векторов‚ \(\|\vec{v}\|\) ⸺ длина вектора \(\vec{v}\)․Я рассчитал вектор \(\vec{A}\) следующим образом⁚ для прямой -3x 4y-190 я взял точку B (1‚ 5)‚ так как она удовлетворяет данному уравнению․ Тогда получил вектор \(\vec{A} \begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}\)․Теперь‚ подставив значения в формулу‚ я получил⁚
\[d \frac{{\|(-3‚ 4) \times (1‚ 5)\|}}{{\|(-3‚ 4)\|}}\]
Вычисление векторного произведения даёт⁚
\(\vec{v} \times \vec{A} (4 \cdot 5 ⸺ (-3) \cdot 1‚ -3 \cdot 5 ⸺ 4 \cdot 1) (23‚ -19)\)
А длина вектора \(\vec{v}\) равна⁚
\(\|(-3‚ 4)\| \sqrt{(-3)^2 4^2} 5\)
Теперь мы можем подставить эти значения в формулу и рассчитать расстояние⁚
\[d \frac{{\|(23‚ -19)\|}}{5} \frac{\sqrt{23^2 (-19)^2}}{5} \frac{\sqrt{1105 361}}{5} \frac{\sqrt{1466}}{5} \approx 9․60\]
Таким образом‚ я получил‚ что расстояние между прямыми -3x 4y 110 и -3x 4y-190 составляет примерно 9․60 единицы длины․
Открытие этой формулы и решение этой задачи позволили мне лучше понять геометрические свойства прямых и векторов․ Я также осознал‚ насколько важно применять математические знания на практике‚ чтобы лучше разобраться в них и оценить их полезность в реальной жизни․