Привет, друзья! Сегодня я хочу поделиться с вами интересным математическим понятием ⏤ скалярным произведением векторов. Недавно я столкнулся с задачей, где нужно было найти скалярное произведение векторов a и b, которые представлены в виде a−p−q и b−5p−3q, при условии, что p2, q2√2, а угол между векторами p и q равен π/4. Давайте разберемся, как это сделать!Скалярное произведение векторов определяется следующим образом⁚
a · b |a| |b| cos(θ),
где a и b ⏤ это векторы, |a| и |b| ー их модули, а θ ⏤ угол между ними.В нашем случае, вектор a задан как -p-q -2p ー 2√2q, а вектор b -5p-3q -10p ー 6√2q. Заданы также значения p2 и q2√2, а угол между векторами p и q равен π/4.Для начала нам нужно найти модули векторов a и b. Модуль вектора вычисляется по формуле⁚
|v| √(x^2 y^2),
где x и y ⏤ координаты вектора v.Для вектора a⁚
|a| √((-2p)^2 (-2√2q)^2),
|a| √(4p^2 8q^2).Подставляя значения p2 и q2√2⁚
|a| √(4(2)^2 8(2√2)^2),
|a| √(16 32),
|a| √48.Теперь найдем модуль вектора b⁚
|b| √((-10p)^2 (-6√2q)^2),
|b| √(100p^2 36(2q)^2),
|b| √(100(2)^2 36(4√2)^2),
|b| √(100(4) 36(16*2)),
|b| √(400 1152)٫
|b| √1552.Теперь, имея модули векторов a и b, а также значение угла между векторами p и q, мы можем найти скалярное произведение по формуле⁚
a · b |a| |b| cos(θ).Подставляя значения⁚
a · b √48 * √1552 * cos(π/4).Вычисляя:
a · b √48 * √1552 * 1/√2. a · b 4√3 * 40√2 * 1/√2. a · b 160√6. Итак, скалярное произведение векторов a и b равно 160√6. Надеюсь, эта статья помогла вам освоить скалярное произведение векторов и применить его на практике. Желаю вам успехов в изучении математики и ее применении!