Я совсем недавно столкнулся с интересной задачей‚ которую было интересно решить. В ней требовалось найти значения параметра ″a″‚ при каждом из которых система уравнений имеет ровно одно решение.Система уравнений выглядела следующим образом⁚
y ||x^3 ax^2 x^2 4ax ⎼ 12x||^2 4x ||y |x 2||| 3
Для начала‚ я решил разложить уравнение на отдельные части для удобства⁚
1. y ||x^3 ax^2 x^2 4ax ⏤ 12x||^2
2. 4x ||y |x 2||| 3
Теперь я приступил к анализу каждой части системы уравнений по отдельности.Начнем с первой части. Я заметил‚ что это уравнение содержит модуль и возведение в квадрат. Такие уравнения обычно делятся на два случая ⎼ когда аргумент модуля положителен и когда он отрицателен.Рассмотрим первый случай‚ когда аргумент модуля положителен⁚
x^3 ax^2 x^2 4ax ⏤ 12x √y
Преобразуем это уравнение к виду⁚
x^3 (a 1)x^2 (4a-12)x ⏤ √y 0
Для того чтобы это уравнение имело ровно одно решение‚ необходимо и достаточно‚ чтобы его кратность была 3. Это означает‚ что дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю⁚
(a 1)^2 ⏤ 3(a 1)(4a-12) 0
(a 1)^2 ⎼ 12(a 1)(a-3) 0
(a 1) ⏤ 12(a-3) 0
a 1 ⎼ 12a 36 0
-11a 37 0
a 37/11
Теперь рассмотрим второй случай‚ когда аргумент модуля отрицателен⁚
-(x^3 ax^2 x^2 4ax ⎼ 12x) √y
-x^3 ⎼ ax^2 ⎼ x^2 ⎼ 4ax 12x √y
Преобразуем это уравнение к виду⁚
-x^3 ⏤ (a 1)x^2 ⎼ (4a 12)x √y 0
Аналогично предыдущему случаю‚ чтобы это уравнение имело ровно одно решение‚ его дискриминант должен быть равен нулю⁚
(a 1)^2 ⏤ 3(a 1)(4a 12) 0
(a 1)^2 ⏤ 12(a 1)(a 3) 0
(a 1) ⎼ 12(a 3) 0
a 1 ⏤ 12a ⏤ 36 0
-11a ⎼ 35 0
a -35/11
Таким образом‚ получается‚ что система уравнений имеет ровно одно решение при значениях параметра ″a″ равных 37/11 и -35/11. Их сумма равна 2/11 (37/11 (-35/11) 2/11).
Это был очень интересный опыт для меня‚ и я рад‚ что смог решить эту задачу.