[Решено] Найти экстремумы функции

а) f(х) = х3 3х2 – 2х 2; б) f(х) = 2e3х – 3е2х

а) f(х) х³ 3х² – 2х 2

Для того чтобы найти экстремумы функции f(х)‚ мы должны найти ее производную и приравнять ее к нулю. Таким образом мы найдем значения аргументов‚ в которых функция достигает своих экстремальных точек.​

Для данной функции‚ найдем ее производную⁚

f'(х) 3х² 6х ⎼ 2

Теперь найдем значения аргументов‚ при которых производная равна нулю⁚

3х² 6х ⎼ 2 0

Чтобы решить это уравнение‚ мы можем использовать квадратное уравнение или метод перебора.​ Представим данное уравнение в виде⁚

3х² 6х 2

и затем вынесем общий множитель⁚

3х(х 2) 2

Теперь разделим обе части уравнения на 3⁚

х(х 2) 2/3

Из этого уравнения мы видим‚ что х или х 2 должны быть равным нулю.​ Решим два уравнения отдельно⁚

1) х 0

2) х 2 0‚ что влечет х -2

Таким образом‚ мы нашли две значения аргумента‚ при которых производная равна нулю⁚ х 0 и х -2.

Для того чтобы определить‚ являются ли эти значения экстремальными точками‚ мы должны проанализировать вторую производную.​

Найдем вторую производную функции f(х)⁚

f»(х) 6х 6

Подставим значения х 0 и х -2 во вторую производную⁚

1) f»(0) 6 * 0 6 6

2) f»(-2) 6 * (-2) 6 -6 6 0

Итак‚ мы видим‚ что f»(0) > 0‚ а f»(-2) 0.​ Это означает‚ что х 0 является точкой минимума‚ а х -2 является точкой перегиба.​

Таким образом‚ функция f(х) х³ 3х² – 2х 2 имеет точку минимума при х 0 и точку перегиба при х -2.​

б) f(х) 2e^3х – 3e^2х

Аналогично предыдущей функции‚ найдем ее производную и приравняем ее к нулю⁚

f'(х) 6e^3х ⎼ 6e^2х

6e^3х ⎼ 6e^2х 0

Теперь вынесем общий множитель⁚

6e^2х(e^х ⎼ 1) 0

Из этого уравнения мы видим‚ что e^2х 0 или e^х ⎼ 1 0.​ Очевидно‚ что e^2х не может быть равным нулю‚ поэтому мы решаем второе уравнение⁚

e^х ⎼ 1 0

e^х 1

Решив это уравнение получаем⁚

х 0

Таким образом‚ мы нашли значение аргумента‚ при котором производная равна нулю⁚ х 0.

Для анализа экстремальности точки‚ найдем вторую производную функции f(х)⁚

f»(х) 18e^3х ⎼ 12e^2х

Подставим значение х 0 во вторую производную⁚

f»(0) 18e⁰ ⎼ 12e⁰ 18 — 12 6

Мы видим‚ что f»(0) > 0.​ Это означает‚ что х 0 является точкой минимума.​

Итак‚ функция f(х) 2e^3х – 3e^2х имеет точку минимума при х 0.​