Пробуя различные значения x, я определил наибольшее и наименьшее значения функции f(x) x³ 3/x на отрезке [0,5; 2]․ Давайте рассмотрим каждое из них подробнее․Наименьшее значение функции f(x) достигается при x 2․ Чтобы это показать, рассмотрим анализ производной функции f(x)․ Производная f'(x) 3x² ౼ 3/x² 3(x⁴ ౼ 1)/x²․ Поскольку производная является положительной на интервале (0, бесконечность), f(x) возрастает на этом интервале․ Это означает, что минимальное значение функции достигается на границе отрезка, то есть при x 2․ Подставив это значение, получаем f(2) 2³ 3/2 8 1,5 9,5․
Наибольшее значение функции f(x) достигается при x 0٫5․ Для доказательства этого также используем анализ производной f'(x)․ Ищем точки экстремума٫ приравнивая производную к нулю⁚ 3x² ౼ 3/x² 0․ Упрощая это уравнение٫ получаем x⁴ 1․ Находим корни этого уравнения⁚ x ±1․ Изначально функция определена только на отрезке [0٫5; 2]٫ поэтому рассматриваем только положительный корень x 1․ Таким образом٫ экстремум функции достигается только в точке x 1․ Подставив это значение٫ получаем f(1) 1³ 3/1 1 3 4․
Итак, наибольшее значение функции f(x) x³ 3/x на отрезке [0,5; 2] равно 9,5, а наименьшее значение равно 4․ Вы можете проверить эти результаты, самостоятельно вводя значения x в функцию и вычисляя соответствующие значения f(x)․