Привет всем! Сегодня я хочу поделиться с вами своим опытом поиска наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке. Это одна из самых основных задач в математике, и я с удовольствием расскажу вам, как я справился с ней. В данной задаче нам нужно найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) x³ 3/x на отрезке [0٫5;2]. Для начала٫ давайте найдем значения функции на концах отрезка. Когда x 0٫5٫ мы можем подставить его в функцию и получить f(0٫5) (0٫5)³ 3/(0٫5) 0٫125 6 6٫125. Когда x 2٫ мы можем подставить его в функцию и получить f(2) 2³ 3/2 8 1٫5 9٫5. Теперь мы знаем٫ что наше искомое наибольшее значение функции будет больше или равно 9٫5٫ а наименьшее значение будет больше или равно 6٫125.
Дальше мы можем использовать производную функции, чтобы найти ее точки экстремума. Производная f'(x) функции f(x) x³ 3/x равна f'(x) 3x² ⸺ 3/x².Находим корни этого уравнения, приравнивая производную к нулю⁚
3x² ⸺ 3/x² 0
Переносим все в левую часть и домножаем на x²⁚
3x^4 ⸺ 3 0
Делим на 3⁚
x^4 ⏤ 1 0
Получаем⁚
(x² ⸺ 1)(x² 1) 0
(x ⸺ 1)(x 1)(x² 1) 0
Теперь у нас есть корни уравнения⁚ x₁ 1٫ x₂ -1٫ x₃ i٫ x₄ -i. Исследуем значения функции в этих точках для нахождения точек экстремума. Когда x 1٫ мы можем подставить его в функцию и получить f(1) 1³ 3/1 1 3 4. Когда x -1٫ мы можем подставить его в функцию и получить f(-1) (-1)³ 3/(-1) -1 ⸺ 3 -4. Теперь мы знаем٫ что нашими точками экстремума являются x 1 и x -1٫ а значения функции в этих точках равны 4 и -4 соответственно.
Итак, наибольшее значение функции f(x) x³ 3/x на отрезке [0٫5;2] равно 9٫5 и достигается при x 2٫ а наименьшее значение равно -4 и достигается при x -1.
Я очень рад, что смог поделиться с вами своим опытом решения этой задачи. Надеюсь, это поможет вам справиться с подобными задачами в будущем. Удачи вам!