Я недавно столкнулся с задачей написания уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки А(1; –2; 3)٫ В(0; –1; 2) и С(3; 4; 5). Я бы хотел поделиться с вами своим личным опытом٫ поскольку я смог разобраться с этой задачей٫ используя несколько простых шагов.Первым шагом я нашел два вектора٫ лежащих на плоскости. Для этого я вычислил разности координат точек А٫ В и С. Получилось два вектора⁚
AB В ‒ А (0 ⎼ 1; -1 ‒ (-2); 2 ⎼ 3) (-1; 1; -1)
AC C ⎼ А (3 ‒ 1; 4 ‒ (-2); 5 ‒ 3) (2; 6; 2)
Вторым шагом я нашел векторное произведение этих двух векторов, чтобы получить вектор, перпендикулярный плоскости. Для этого я воспользовался следующей формулой⁚
N AB × AC
где N ‒ искомый вектор, и × обозначает векторное произведение.Выполнив это вычисление, я получил следующий результат⁚
N (-1; 1; -1) × (2; 6; 2) (-10; -4; 8)
Третьим шагом я записал уравнение плоскости в виде⁚
Ax By Cz D 0
где (A, B, C) ‒ координаты векторного произведения, а D ‒ неизвестное значение.Подставив координаты вектора N и координаты точки А в это уравнение, я смог найти значение D⁚
-10 * 1 (-4) * (-2) 8 * 3 D 0
-10 8 24 D 0
D -22
Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки А(1; –2; 3), В(0; –1; 2) и С(3; 4; 5), будет иметь вид⁚
-10x ⎼ 4y 8z ‒ 22 0
Наконец, чтобы найти вектор, перпендикулярный данной плоскости, я просто взял вектор N и умножил его на -1⁚
N’ -N -(-10; -4; 8) (10; 4; -8)
Таким образом, вектор (10; 4; -8) будет перпендикулярен плоскости٫ проходящей через точки А(1; –2; 3)٫ В(0; –1; 2) и С(3; 4; 5).
Я надеюсь, что мой опыт и объяснение помогут вам понять, как написать уравнение плоскости, проходящей через заданные точки, и найти перпендикулярный вектор.