Привет‚ меня зовут Дмитрий и сегодня я хотел бы поделиться с вами своими знаниями о остроугольном треугольнике ABC и его описанной окружности.
Для начала‚ давайте рассмотрим условие задачи. У нас есть остроугольный треугольник ABC‚ описанная окружность с центром O‚ точка K на продолжении отрезка AO такая‚ что ∠BAC ∠AKC90∘. Нам нужно доказать‚ что четырёхугольник OBKC является вписанным и найти радиус описанной окружности‚ если cos∠BAC35‚ а BC48.
Для доказательства того‚ что четырёхугольник OBKC является вписанным‚ нам понадобятся некоторые геометрические свойства.
Во-первых‚ теорема о центральном угле говорит нам‚ что угол‚ опирающийся на дугу окружности‚ равен половине центрального угла‚ отвечающего этой же дуге. В четырёхугольнике OBKC угол ∠OKC опирается на дугу BC. Так как ∠AKC 90∘ ⸺ ∠BAC‚ угол ∠OKC будет равен половине ∠BAC. Таким образом‚ ∠OKC 1/2 ∠BAC. Отсюда следует‚ что ∠OKC ∠OBC (угол‚ опирающийся на дугу BC) и ∠OBK ∠OCK (угол‚ опирающийся на дугу KC).
Во-вторых‚ теорема об углах‚ вписанных в окружность‚ говорит нам‚ что угол‚ опирающийся на дугу‚ равен половине разности углов‚ стоящих на этой же дуге. В четырёхугольнике OBKC мы можем применить эту теорему для углов ∠OBK и ∠OCK‚ опирающихся на дугу KC. Таким образом‚ ∠OBK 1/2 (∠BAC ─ ∠AKC).
Подставим значение ∠AKC 90∘ ─ ∠BAC из условия задачи⁚ ∠OBK 1/2 (∠BAC ⸺ (90∘ ⸺ ∠BAC)). Упростим это выражение⁚ ∠OBK 1/2 (2∠BAC ─ 90∘). Теперь заметим‚ что 2∠BAC ─ 90∘ ∠BAC (так как ∠BAC < 90∘ в остроугольном треугольнике). Итак‚ ∠OBK 1/2 ∠BAC. Мы получили‚ что ∠OKC ∠OBC и ∠OBK ∠OCK‚ а также ∠OBK ∠OKC. Это означает‚ что четырёхугольник OBKC является вписанным.
Теперь перейдем ко второму вопросу ⸺ нахождению радиуса описанной окружности. Для этого мы можем использовать формулу описанной окружности‚ которая гласит⁚ R AB/2sinC‚ где AB ─ длина стороны треугольника‚ C ─ угол‚ противолежащий стороне AB‚ R ⸺ радиус описанной окружности. В нашем случае‚ сторона AB равна BC и угол C равен ∠BAC. Согласно условию задачи‚ cos∠BAC 35‚ а BC 48. Cosinus угла ∠BAC можно выразить через sin∠BAC‚ используя тригонометрическую идентичность cos²x sin²x 1. Таким образом‚ sin∠BAC √(1 ─ cos²∠BAC) √(1 ⸺ 35²/100²) √(1 ─ 1225/10000) √(8775/10000) √0.8775. Теперь можем подставить значения в формулу R BC/2sin∠BAC: R 48/(2√0.8775) 24/√0.8775. Для удобства решения‚ мы можем умножить числитель и знаменатель на √(10000/8775)‚ чтобы избавиться от корня в знаменателе⁚ R (24/√0.8775)*√(10000/8775) 24√(8775/8775) 24.Таким образом‚ радиус описанной окружности равен 24.
Окончательно‚ мы доказали‚ что четырёхугольник OBKC является вписанным и нашли радиус описанной окружности равным 24.
Надеюсь‚ эта информация была полезной для вас! Если у вас возникнут еще вопросы‚ не стесняйтесь задавать их.