Мой опыт определения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Я недавно столкнулся с задачей определения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, и хочу поделиться своим опытом решения этой задачи․
Для начала, я вспомнил, что у нас есть две суммы⁚ сумма первого и четвёртого членов равна 63, а сумма второго и третьего равна 42․ Я обозначил первый член этой прогрессии как ‘a’, а знаменатель убывающей геометрической прогрессии я обозначил как ‘r’․ Теперь моя задача состояла в том, чтобы использовать эти данные и найти значения ‘a’ и ‘r’, а затем определить сумму всей прогрессии․
Для нахождения ‘a’ и ‘r’ я воспользовался системой уравнений․ Используя формулу для сумм бесконечных геометрических прогрессий, я получил следующие уравнения⁚
1) a ar^3 63
2) ar ar^2 42
Теперь, чтобы найти значения ‘a’ и ‘r’, я решил систему уравнений․ Сначала я из второго уравнения выразил ‘a’⁚
ar 42 ‒ ar^2
a (42 ‒ ar^2) / r
Подставив это значение ‘a’ в первое уравнение, я получил⁚
(42 ⸺ ar^2) / r (42 ‒ ar^2) / r * r^3 63
Раскрывая скобки и упрощая уравнение, я получил⁚
42 / r (42 ‒ ar^2) / r^4 63
Далее, я умножил оба выражения уравнения на ‘r^4’ и привёл к общему знаменателю⁚
42r^3 42 ‒ ar^2 63r^4
После этого я перенес все члены уравнения на одну сторону и получил кубическое уравнение⁚
63r^4 ⸺ 42r^3 ar^2 ‒ 42 0
Теперь, чтобы решить это уравнение, я использовал метод проб и ошибок․ Я подбирал значения ‘r’ и ‘a’, которые удовлетворяли условиям задачи․ В итоге, я нашёл, что ‘r’ равняется -1, а ‘a’ равняется 21․
Теперь, зная значения ‘a’ и ‘r’, я могу определить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии․ Для этого я воспользовался формулой для суммы бесконечной геометрической прогрессии⁚
S a / (1 ⸺ r)
Подставив значения ‘a’ и ‘r’, я получил⁚
S 21 / (1 ⸺ (-1)) 21 / 2 10․5
Таким образом, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 10․5․