Определим уравнение траектории материальной точки․ Уравнение траектории определяется как зависимость координат точки x и y от времени․ Зная, что радиус-вектор материальной точки задается выражением⁚
𝑟⃗ 𝐴𝑡 𝑖⃗ 𝐵𝑡^2𝑗⃗٫
где 𝑖⃗ и 𝑗⃗ ― орты осей x и y, соответственно, 𝑟⃗ ⸺ радиус-вектор, 𝐴 ― коэффициент, пропорциональный времени 𝑡, 𝐵 ― коэффициент, пропорциональный 𝑡²․а) Найдем уравнение траектории⁚
Из выражения радиус-вектора получаем⁚
x 𝐴𝑡,
y 𝐵𝑡²․Таким образом, уравнение траектории будет иметь вид⁚
y 𝐵𝑥²/𝐴²․Графически траектория будет представлять собой параболу, открывшуюся вверх․б) Найдем проекции перемещения, скорости и ускорения точки на оси координат⁚
Перемещение точки на оси x будет равно проекции радиус-вектора на ось x․ Следовательно, проекция перемещения по оси x будет равна 𝑟ₓ 𝐴𝑡․Проекция перемещения по оси y будет равна 𝑟ᵧ 𝐵𝑡²․Скорость ― это производная по времени от радиус-вектора⁚ 𝑣⃗ d𝑟⃗/dt․В данном случае⁚
𝑣ₓ d(𝐴𝑡)/dt 𝐴,
𝑣ᵧ d(𝐵𝑡²)/dt 2𝐵𝑡․Ускорение ⸺ это производная по времени от скорости⁚ 𝑎⃗ d𝑣⃗/dt․В этом случае⁚
𝑎ₓ d(𝐴)/dt 0,
𝑎ᵧ d(2𝐵𝑡)/dt 2𝐵․ в) Найдем зависимости от времени векторов перемещения٫ скорости и ускорения точки и модули этих величин в момент времени 𝑡․ Вектор перемещения будет равен 𝑟⃗ 𝐴𝑡 𝑖⃗ 𝐵𝑡²𝑗⃗․ Вектор скорости будет равен 𝑣⃗ 𝐴𝑖⃗ 2𝐵𝑡𝑗⃗․ Вектор ускорения будет равен 𝑎⃗ 0𝑖⃗ 2𝐵𝑗⃗․
Модуль вектора перемещения будет равен |𝑟⃗| √(𝑟ₓ² 𝑟ᵧ²) √(𝐴²𝑡² 𝐵²𝑡⁴)․
Модуль вектора скорости будет равен |𝑣⃗| √(𝑣ₓ² 𝑣ᵧ²) √(𝐴² 4𝐵²𝑡²)․Модуль вектора ускорения будет равен |𝑎⃗| √(𝑎ₓ² 𝑎ᵧ²) √(4𝐵²)․В момент времени 𝑡 3․0 c⁚
Расчеты⁚
— uₑ √(𝐴²𝑡² 𝐵²𝑡⁴) √(1²(3)² 5․5²(3)⁴) √(9 435․1875) ≈ 20․85 м․
— vₑ √(1² 4(5․5²(3²)) √(1 4(5․5²(9))) ≈ 19․792 м/с․
— aₑ √(4(5․5²)) √(4(30․25)) 11 м/с²․
Таким образом, мы получили уравнение траектории, нашли проекции перемещения, скорости и ускорения точки на оси координат, а также определили зависимости от времени векторов перемещения, скорости и ускорения точки и их модулей в момент времени 𝑡․