Стороны правильного треугольника ABC равны 4. Это означает‚ что все стороны треугольника имеют одинаковую длину‚ а углы между ними равны 60 градусам. Для решения задачи нам необходимо найти скалярное произведение векторов AB и AC и возвести его в квадрат.Для начала‚ нам нужно найти координаты концов векторов AB и AC. Поскольку треугольник ABC ー равносторонний‚ все его стороны имеют одинаковую длину и углы между сторонами равны 60 градусам. Пусть точка A имеет координаты (0‚ 0)‚ а сторона AB направлена вдоль оси X положительного направления. Тогда точка B имеет координаты (4‚ 0). Зная‚ что угол между сторонами AB и AC равен 60 градусам‚ мы можем найти координаты точки C.
Чтобы найти координаты точки C‚ рассмотрим треугольник ABC. Учитывая‚ что угол между сторонами AB и AC равен 60 градусам‚ мы можем использовать формулу для преобразования координат из прямоугольной системы в полярную систему⁚
x r * cos(theta)
y r * sin(theta)
Где r ‒ расстояние от начала координат до точки‚ а theta ‒ угол‚ измеренный от положительной оси X в положительном направлении.Таким образом‚ для точки C с координатой (x‚ y) мы имеем⁚
x 4 * cos(60)
y 4 * sin(60)
Решая эти уравнения‚ мы получим⁚
x 4 * 0.5 2
y 4 * 0.866 3.464
Таким образом‚ координаты точки C равны (2‚ 3.464).Теперь‚ чтобы найти вектор AB‚ нам необходимо вычислить разность координат конечной точки (B) и начальной точки (A)⁚
AB (4-0‚ 0-0) (4‚ 0)
Аналогичным образом‚ вектор AC вычисляется как разность координат точек C и A⁚
AC (2-0‚ 3.464-0) (2‚ 3.464)
Теперь перейдем к нахождению скалярного произведения векторов AB и AC⁚
AB · AC (4 * 2) (0 * 3.464) 8
В итоге‚ получаем‚ что скалярное произведение векторов AB и AC равно 8. Возводим это число в квадрат⁚
8^2 64
Таким образом‚ ответ на задачу составляет 64.