Для доказательства того, что прямая, проведенная через серединные точки отрезков АС и ВС, параллельна плоскости с, воспользуемся следующими соображениями.По определению, точка D является серединой отрезка АС, а точка Е ౼ серединой отрезка ВС. То есть, отрезок DE делит оба отрезка пополам.Для начала, запишем уравнение плоскости с, через точку А и вектор нормали к этой плоскости. Поскольку точка C не находится в плоскости с, мы можем использовать точки A и C для записи этого уравнения, например⁚
— уравнение плоскости с⁚ Ax By Cz D 0,
— дано, что точка С находится вне плоскости с, значит по уравнению⁚ Ax By Cz D ≠ 0.
Далее, возьмем точку D, лежащую на прямой DE, и проведем через нее прямую, параллельную плоскости с. Запишем уравнение этой прямой⁚
— уравнение прямой, параллельной плоскости с⁚ Ax By Cz D1 0,
— т.к. прямая проходит через точку D(xD, yD, zD) и параллельна плоскости с, то подставим значения координат точки D в уравнение прямой, получим⁚ AxD ByD CzD D1 0.
Теперь, найдем серединную точку Е(xE, yE, zE) отрезка ВС. Подставим значения координат точки Е в уравнение прямой и получим⁚ AxE ByE CzE D1 0.
Поскольку точка E является серединой отрезка ВС, то они лежат на одной прямой, и значит должны удовлетворять уравнению этой прямой. То есть, AxE ByE CzE D1 0.
Таким образом, уравнения прямых, проходящих через точки D и Е, имеют одинаковые коэффициенты A, B, и C. А это значит, что эти прямые параллельны, и следовательно прямая DE параллельна плоскости с.
Таким образом, мы доказали, что прямая, проведенная через серединные точки отрезков АС и ВС, параллельна плоскости с.