Я, как опытный математик, хочу поделиться с вами своим личным опытом и объяснить, как найти разность арифметической прогрессии, чтобы произведение четвёртого и третьего членов было наибольшим.
Дано, что седьмой член арифметической прогрессии равен 3. Пусть общий член арифметической прогрессии обозначается как a_n, где n — номер члена прогрессии. Тогда, согласно условию, a_7 3.Также, известно, что произведение четвёртого и третьего членов арифметической прогрессии будет наибольшим. Обозначим четвёртый член как a_4 и третий член как a_3.Чтобы найти разность арифметической прогрессии (d), мы знаем, что каждый последующий член прогрессии можно выразить через предыдущий с помощью следующей формулы⁚
a_n a_(n-1) d
Теперь, если мы знаем, что a_3 * a_4 должно быть максимальным, то можно записать условие⁚
a_3 * a_4 (a_1 2d) * (a_1 3d)
Для максимизации этого произведения, мы должны найти максимальное значение разности d.Для этого, давайте раскроем скобки и приведём уравнение к виду квадратного трёхчлена⁚
a_3 * a_4 a_1^2 5a_1d 6d^2
Теперь, зная, что a_7 3٫ мы можем подставить значение a_7 в уравнение⁚
3 a_1 6d
Теперь мы можем выразить a_1 через d⁚
a_1 3 ⎼ 6d
Подставим это значение в уравнение a_3 * a_4⁚
a_3 * a_4 (3 — 6d)^2 5(3 ⎼ 6d)d 6d^2
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые⁚
a_3 * a_4 9 ⎼ 36d 36d^2 15d — 30d^2 6d^2
Теперь объединим подобные слагаемые⁚
a_3 * a_4 9 6d^2 — 15d^2 36d^2 15d — 36d
Упростим уравнение⁚
a_3 * a_4 51d^2, 21d 9
Таким образом, чтобы найти максимальное значение произведения a_3 * a_4, мы должны найти максимальное значение разности d в этом уравнении.Теперь решим это уравнение для максимального значения произведения⁚
d -b/2a
d -(-21)/(2*51)
d 21/102
d 0.2059
Итак, мы получили, что разность арифметической прогрессии должна быть примерно равной 0.2059, чтобы произведение четвёртого и третьего членов было наибольшим.