Всем привет! Сегодня я хотел бы поделиться с вами интересной задачей, которую я недавно решил сам. Тема нашей статьи ‒ ″В крайних клетках полоски сидят лягушка и кузнечик⁚ как быстро они смогут оказаться в одной клетке?″
Итак, у нас есть полоска, состоящая из N клеток. Лягушка находится в первой клетке, а кузнечик в последней. Каждую секунду они прыгают в сторону друг друга. Лягушка может прыгать только на две или три клетки, а кузнечик ౼ на одну или две клетки.Задача состоит в том, чтобы определить, за какое наименьшее время они смогут оказаться в одной клетке.Давайте посмотрим на пример, чтобы лучше понять, как это работает. Предположим, у нас есть полоска из 5 клеток⁚
Л ‒ лягушка
К ‒ кузнечик
Клетка 1⁚ Л _ _ _ К
Клетка 2⁚ _ Л _ _ К
Клетка 3⁚ _ _ Л _ К
Клетка 4⁚ _ _ _ Л К
Клетка 5⁚ _ _ _ _ Л
На первом шаге лягушка может прыгнуть на вторую или третью клетку. Пусть она выбирает вторую клетку. Тогда положение станет таким⁚
Клетка 1⁚ _ Л _ _ К
Клетка 2⁚ _ _ Л _ К
Клетка 3⁚ _ _ _ Л К
Клетка 4⁚ _ _ _ _ Л
Теперь кузнечик находиться на четвертой клетке, и он может прыгнуть на третью или вторую клетку. Он выбирает вторую клетку⁚
Клетка 1⁚ _ Л _ _ К
Клетка 2⁚ _ _ Л _ К
Клетка 3⁚ _ _ _ Л К
Клетка 4⁚ _ _ _ _ Л
Клетка 5⁚ _ _ _ Л _
На третьем шаге лягушка прыгает на третью клетку, и они оказываются в одной клетке⁚
Клетка 1⁚ _ _ Л _ К
Клетка 2⁚ _ _ _ Л К
Клетка 3⁚ _ _ _ _ Л
Клетка 4⁚ _ _ _ Л _
Клетка 5⁚ _ _ _ _ Л
Таким образом, они смогут оказаться в одной клетке за три шага.Итак, как же мы можем решить эту задачу? Очевидно, что лягушка и кузнечик должны приближаться друг к другу как можно быстрее. Мы должны искать наименьшее количество шагов, чтобы они встретились.Вот алгоритм, который я придумал⁚
1. Если N равно одной или двум клеткам, то они могут оказаться в одной клетке в первый же шаг.
2. Если N равно трем клеткам, то лягушка прыгает на вторую клетку, а кузнечик прыгает на первую клетку. Таким образом, они встретятся на втором шаге.
3. Если N больше трех клеток, мы пытаемся найти наименьшее N, которое делится на 5 без остатка. Когда мы находим его, лягушка может прыгнуть на вторую или третью клетку, чтобы добраться до середины полоски, а затем они могут использовать алгоритм для N 3, чтобы встретиться остальным пятью клетками.
4. Если N не делится на 5 без остатка, мы можем поделить N на 5 и получить частное Q и остаток R. Затем мы можем прыгнуть Q раз на третью клетку и R раз на вторую или третью клетку. Таким образом, они смогут встретиться остальными пятью клетками.
Вот и все! Мы только что решили задачу и определили, за какое наименьшее время лягушка и кузнечик смогут оказаться в одной клетке. Я попробовал это сам и получил интересный результат. Надеюсь, что вам понравилась эта статья и вы научились что-то новое. Удачи в решении задачи!