Я рассмотрел данную задачу и выбрал ответ, который кажется мне верным. Введя новую переменную ttgx, мы можем заменить dx в исходном интеграле на dt, и изменить границы интегрирования.Исходный интеграл⁚ ∫dx/(9sin^2x 4cos^2x-7)
Замена переменных⁚ ttgx
Дифференцируя обе части по x, получим⁚ dt sec^2x dx
dx dt/cos^2x
Подставляем в исходный интеграл⁚
∫(dt/cos^2x) / (9sin^2x 4cos^2x ⎻ 7)
Теперь заметим, что sin^2x cos^2x 1. Заменим эту сумму в знаменателе на 1⁚
∫(dt/cos^2x) / (9 ౼ 3cos^2x)
Учитывая, что cos^2x 1 ⎻ sin^2x٫ подставим это выражение в знаменатель⁚
∫(dt/cos^2x) / (9 ⎻ 3(1 ౼ sin^2x))
Упростим выражение в знаменателе⁚
∫(dt/cos^2x) / (6 3sin^2x)
Ранее мы ввели переменную ttgx. Заменим sin^2x в знаменателе на (tgx)^2⁚
∫(dt/cos^2x) / (6 3(tgx)^2)
Теперь видим, что у нас есть дифференциал dt в числителе и тангенс в знаменателе. Известно, что dt sec^2x dx, а sec^2x 1 tg^2x. Подставим это выражение в числитель⁚
∫((1 tg^2x) dt) / (6 3(tgx)^2)
Раскроем скобки в числителе⁚
∫(dt dt(tg^2x)) / (6 3(tgx)^2)
Раскроем знаменатель⁚
∫(dt dt(tg^2x)) / (3((tgx)^2 2))
Вынесем dt за скобку⁚
∫dt/(3((tgx)^2 2)) ∫dt(tg^2x)/(3((tgx)^2 2))
Первый интеграл просто dt/t, так как tg^2x 1 sec^2x⁚
∫dt/t ln|t| C1
Второй интеграл⁚
∫dt(tg^2x)/(3((tgx)^2 2))
Здесь видим, что тангенс в числителе и знаменателе можно сократить⁚
∫dt/(3(tgx)^2 6)
Теперь введем новую переменную u tgx, и заменим tgx на u в интеграле⁚
∫dt/(3u^2 6)
Здесь можно заметить, что 3(u^2 2) 3u^2 6, значит⁚
∫dt/(3u^2 6) ∫dt/(3(u^2 2))
Данный интеграл я уже рассмотрел и получил ответ⁚ (√3/√2) arctg(√3u/√2) C2. Подставим обратно переменную u tgx⁚
(√3/√2) arctg(√3tgx/√2) C2
Объединим два полученных интеграла⁚
ln|t| (√3/√2) arctg(√3tgx/√2) C
Заметим, что мы рассматриваем переменную t, которая введена ранее как ttgx. Заменим tgx обратно на t⁚
ln|t| (√3/√2) arctg(√3t/√2) C
Это наше окончательное выражение для неопределенного интеграла после введения новой переменной ttgx. Поэтому мой ответ на данную задачу ⎻ 1) ∫dt/2t^2-3.