В правильной треугольной пирамиде все боковые грани являются равнобедренными треугольниками, поэтому у нас есть равенства⁚
Sb Sc Sa
где Sb, Sc, Sa ― площади треугольников SBC, SCD, SDA соответственно.Известно, что площадь боковой поверхности равна 108. По формуле площади боковой поверхности пирамиды имеем⁚
Sb Sc Sa 108
Так как треугольник SCD является равнобедренным, то он делится высотой пирамиды на два подобных треугольника, поэтому площадь Sc в два раза больше площади одного из этих треугольников⁚
Sc 2 * S_t
где S_t ― площадь треугольника SIC, где I ― середина ребра CD.Следовательно⁚
Sb 2 * S_t Sa 108
Аналогично, треугольник SBC делится высотой пирамиды на два подобных треугольника, и его площадь Sb в два раза больше площади одного из этих треугольников⁚
Sb 2 * S_m
где S_m ─ площадь треугольника SIM, где I ─ середина ребра BC.Таким образом, имеем⁚
2 * S_m 2 * S_t Sa 108
Теперь воспользуемся формулой площади прямоугольного треугольника через длину его гипотенузы и высоту к ней⁚
S_t (1/2) * (SC * IH)
где SC ─ длина основания треугольника SCD, IH ― высота треугольника SIC.Так как треугольник SCD является равнобедренным, то IH OM 12, где O ― точка пересечения медиан треугольника SCD.Теперь, учитывая, что SC BC, S_m (1/2) * (BC * IM), и Sa (1/2) * (AB * SI), получим⁚
2 * (1/2) * (BC * IM) 2 * (1/2) * (BC * 12) (1/2) * (AB * SI) 108
Учитывая, что AB BC, BC 2 * IM и SI 2 * IM, заменим соответствующие значения⁚
2 * (1/2) * (BC * IM) 2 * (1/2) * (BC * 12) (1/2) * (BC * 2 * IM) 108
Упростим выражение⁚
BC * IM BC * 12 BC * 2 * IM 108
Раскроем скобки и сгруппируем члены⁚
(BC BC * 2) * IM BC * 12 108
3 * BC * IM BC * 12 108
4 * BC * IM 96
BC * IM 24
Так как IM BC / 2, заменим IM в уравнении⁚
BC * (BC / 2) 24
BC^2 / 2 24
BC^2 48
BC sqrt(48)
BC ≈ 6.93
Таким образом, длина отрезка BC примерно равна 6.93 (округляется до двух знаков после запятой).