Я недавно решал подобную задачу и готов поделиться своим опытом․ Для начала, построим вертикальную высоту треугольника ABC, опущенную из точки K․ Пусть она пересекает основание AD в точке H․Так как высота разделяет основания на две равные части, то можно сказать, что BHHC․ Теперь посмотрим на треугольники ABH и KPH․ Они оба имеют два равных угла и одну равную сторону HB и KP․ Значит, эти треугольники подобны․ Аналогично можно доказать подобность треугольников CKD и KQD․
Из подобия треугольников ABH и KPH, мы можем сказать, что отношение сторон KP и HB равно отношению сторон HK и AB․ Обозначим длину стороны HB как x, а длину стороны KP как y․ Тогда по правилу подобия⁚
KP/HB HK/AB
Так как HBHC, то KP/HC=y/x․ Равенство может быть записано следующим образом⁚
y/x HK/AB
Мы знаем, что HKAD3√2 и ABBC√2․ Получаем⁚
y/x 3√2/√2
Так как треугольники KQD и CKD также подобны, то отношение сторон KD и DQ равно отношению сторон CK и KD․ Обозначим длину стороны KD как z, а длину стороны DQ как w․ Тогда по правилу подобия⁚
DQ/KD CK/KD
Так как CKCH, то DQ/CH=w/z․ Равенство может быть записано следующим образом⁚
w/z DQ/CH
Мы знаем, что DQ² w² и CH² x²․ Получаем⁚
w²/z² DQ²/x²
Теперь нужно найти значения x, y, z и w․ Для этого рассмотрим треугольник ABH․ Он является прямоугольным, так как HB и AB ౼ это основания его трапеции․ Мы можем использовать теорему Пифагора⁚
AB² AH² BH²
Заменяем значения⁚
√2² AH² x²
2 AH² x²
AH² 2 ౼ x²
Но мы знаем, что AH 3√2 ⎯ x, так как AD3√2 и HDx․ Так что⁚
(3√2 ౼ x)² 2 ⎯ x²
9*2 ⎯ 6√2*x x² 2 ⎯ x²
12√2*x 16
x 16/(12√2)
x 2/√2
x √2
Теперь мы можем найти значения y и z, используя отношения, которые мы получили ранее⁚
y/√2 3√2/√2
y/√2 3
y 3√2
w/√2 √2/√2
w √2
Теперь мы готовы найти значения AP² и DQ²․ По теореме Пифагора⁚
AP² AH² HP²
AP² (3√2 ⎯ √2)² (√2)²
AP² (2√2)² (√2)²
AP² 8 2
AP² 10
DQ² DH² HQ²
DQ² √2² (√2)²
DQ² 2 2
DQ² 4
Таким образом, AP² DQ² 10 4 14․ Ответ⁚ 14․