В треугольнике ABC известны величины углов⁚ ∠A63∘٫ ∠B53∘٫ ∠C64∘. Окружность٫ проходящая через точки A и B٫ повторно пересекает отрезки AC и BC в точках P и Q соответственно. Оказалось٫ что сумма AQ BP принимает наименьшее возможное значение. Нам нужно найти угол ∠BPQ.Чтобы найти угол ∠BPQ٫ нам необходимо проанализировать геометрические свойства треугольника и использовать подходящие теоремы и формулы.Сначала заметим٫ что окружность٫ проходящая через точки A и B٫ является описанной окружностью треугольника ABC. Так как точки P и Q находятся на этой окружности٫ у нас есть следующее свойство⁚
∠APB 180∘ ─ ∠ACB
Теперь рассмотрим треугольник ABP. Мы хотим найти угол ∠BPQ, поэтому нам понадобится информация об углах этого треугольника. Заметим, что внешний угол треугольника ABC в вершине B равен сумме двух внутренних углов⁚
∠ABC ∠BAC ∠BCA
Известно, что ∠BAC 63∘ и ∠BCA 64∘, поэтому⁚
∠ABC 63∘ 64∘ 127∘
Так как угол ∠APB является дополнением к ∠ABC, то⁚
∠APB 180∘ ― ∠ABC 180∘ ─ 127∘ 53∘
Заметим также, что угол ∠BPQ является внутренним углом треугольника BPQ в вершине B. Так как угол внутри треугольника больше соответствующего угла вне треугольника, то⁚
∠BPQ > ∠APB
Итак, наша цель ─ найти угол ∠BPQ, удовлетворяющий условию ″сумма AQ BP наименьшая возможная″. Из вышеуказанных свойств и неравенства следует, что угол ∠APB должен быть минимальным. Значит, угол ∠BPQ должен быть наибольшим возможным в треугольнике BPQ.
Так как углы треугольника суммируются до 180∘, то⁚
∠BPQ ∠BQP ∠QP 180∘
Но мы уже знаем, что ∠APB ∠BPQ ∠BQP, поэтому⁚
∠APB ∠QP 180∘
Так как мы хотим найти угол ∠BPQ, то уравнение преобразуется следующим образом⁚
∠BPQ ∠QP 180∘ ─ ∠APB
Заметим также, что ∠QP ∠C ― 180∘, где ∠C ─ это угол треугольника ABC в вершине C⁚
∠BPQ ∠C ― 180∘ 180∘ ─ ∠APB
Теперь мы имеем два уравнения, которые содержат угол ∠BPQ⁚
∠BPQ ∠C ─ 180∘ 180∘ ─ ∠APB
∠APB 53∘
Мы можем решить эти уравнения относительно ∠BPQ⁚
∠BPQ ∠APB ─ ∠C 180∘
∠BPQ 53∘ ─ 64∘ 180∘
∠BPQ 169∘
Итак, угол ∠BPQ равен 169∘.