В треугольнике ABC с известными углами ∠A 66∘, ∠B 57∘, ∠C 57∘, у нас есть окружность, проходящая через точки A и B. Эта окружность повторно пересекает отрезки AC и BC в точках P и Q соответственно. Мы должны найти значение угла ∠BPQ.Для начала давайте посмотрим на треугольник ABP. У нас есть две известные величины углов⁚ ∠A 66∘ и ∠B 57∘. Сумма углов треугольника всегда равна 180∘, поэтому мы можем найти третий угол ∠P⁚
∠P 180∘ ─ (∠A ∠B)
∠P 180∘ ⏤ (66∘ 57∘)
∠P 180∘ ─ 123∘
∠P 57∘
Теперь давайте перейдем к треугольнику ABQ. Аналогично, мы имеем две известные величины углов⁚ ∠A 66∘ и ∠B 57∘. Мы можем найти третий угол ∠Q с помощью той же формулы⁚
∠Q 180∘ ─ (∠A ∠B)
∠Q 180∘ ⏤ (66∘ 57∘)
∠Q 180∘ ⏤ 123∘
∠Q 57∘
Теперь нам нужно найти сумму AQ BP и найти значение угла ∠BPQ. Отметим, что треугольник ABQ и треугольник ABP имеют одну и ту же основу AB. Когда основа такая же и высоты равны, равны и площади треугольников.
Таким образом, площадь треугольника ABQ равна площади треугольника ABP⁚
(1/2) * AQ * AB * sin(∠AQB) (1/2) * BP * AB * sin(∠BPA)
Перейдем к уравнению⁚
AQ * sin(∠AQB) BP * sin(∠BPA)
Так как AQ и BP постоянны, мы можем утверждать, что sin(∠AQB) sin(∠BPA). Два угла, sin которых равны, также равны или дополняют друг друга⁚
∠AQB ∠BPA или ∠AQB ∠BPA 180∘
У нас уже есть значения ∠AQB и ∠BPA⁚
∠AQB ∠A ∠B 66∘ 57∘ 123∘
∠BPA ∠P ∠Q 57∘ 57∘ 114∘
Таким образом, ∠AQB ∠BPA 123∘ 114∘ 237∘
Но мы ищем значение угла ∠BPQ. Используем то, что ∠BPQ 180∘ ⏤ (∠AQB ∠BPA)⁚
∠BPQ 180∘ ⏤ 237∘
∠BPQ -57∘
Ответ⁚ Угол ∠BPQ равен -57∘.