В треугольнике ABC у нас известны величины углов⁚ ∠A63∘‚ ∠B53∘‚ ∠C64∘. Для решения задачи нам нужно найти угол ∠BPQ. Для начала‚ давайте рассмотрим треугольник APQ.
По условию задачи‚ окружность‚ проходящая через точки A и B‚ повторно пересекает отрезки AC и BC в точках P и Q соответственно. Таким образом‚ мы имеем дело с треугольником APQ.Заметим‚ что в связи с тем‚ что окружность проходит через точки A и B‚ у нас появляются равные углы⁚ ∠ABP ∠AQP и ∠BAQ ∠BPQ. Мы можем использовать эти равные углы‚ чтобы найти значения других углов.Для начала‚ рассмотрим сумму углов треугольника APQ⁚
∠APQ ∠AQP ∠PQA 180∘.Учитывая‚ что ∠ABP ∠AQP‚ мы можем записать⁚
∠APQ ∠ABP ∠PQA 180∘.Также мы знаем‚ что сумма углов треугольника ABC равна 180∘⁚
∠A ∠B ∠C 180∘.Подставляем известные значения углов и получаем⁚
63∘ 53∘ ∠C 180∘.∠C 180∘ ― 63∘ ― 53∘ 64∘.Так как ∠C ∠PQA‚ мы можем записать⁚
∠APQ ∠ABP ∠C 180∘.Подставляем известные значения и получаем⁚
∠APQ 53∘ 64∘ 180∘.∠APQ 180∘ ー 53∘ ー 64∘ 63∘.Теперь‚ вспоминая‚ что ∠BAQ ∠BPQ‚ мы можем записать⁚
∠APQ ∠BAQ ∠PQA 180∘.Подставляем известные значения и получаем⁚
63∘ ∠BAQ 64∘ 180∘.
∠BAQ 180∘ ― 63∘ ー 64∘ 53∘.Таким образом‚ мы получили‚ что ∠BAQ 53∘. Но в условии задачи нам нужно найти угол ∠BPQ.Заметим‚ что ∠BPQ ∠APQ ― ∠BAQ. Подставляем значения и получаем⁚
∠BPQ 63∘ ー 53∘ 10∘.
Итак‚ угол ∠BPQ равен 10∘.