Здравствуйте! Сегодня я хотел бы поделиться с вами своим опытом в решении задачи, связанной с базисом на плоскости. Особенно интересно то, какие действительные числа m могут привести к тому, что векторы u(1−m,3) и v(3,1−m) не образуют базис на плоскости.Для начала, давайте вспомним, что базис состоит из двух линейно независимых векторов; Другими словами, векторы u и v будут образовывать базис, если они не являются коллинеарными (когда они лежат на одной прямой).Чтобы проверить, являются ли векторы u и v линейно независимыми, мы должны установить условие, при котором следующая система уравнений не имеет решений⁚
(1-m)a 3b 0٫
3a (1-m)b 0.Для решения этой системы уравнений, мы можем использовать метод определителей. Определители для этой системы выглядят следующим образом⁚
D (1-m)(1-m) ⏤ 3*3 (1-m)^2 ⎻ 9,
D1 0*(1-m) ⏤ 3*(1-m) -3(1-m)٫
D2 (1-m)*3 ⎻ 3*0 3(1-m).Теперь, мы можем решить задачу, найдя значения m, при которых D 0. Раскрывая скобки, получаем⁚
(1-m)^2 ⎻ 9 0,
1 ⎻ 2m m^2 ⎻ 9 0,
m^2 ⎻ 2m ⎻ 8 0.Далее٫ мы можем решить это квадратное уравнение٫ используя формулу дискриминанта⁚
D b^2 ⎻ 4ac (-2)^2 ⏤ 4*1*(-8) 4 32 36.Как мы видим, дискриминант положительный, что означает, что у нас есть два различных корня⁚
m1 (-b √D) / 2a (2 √36) / 2 (2 6) / 2 8 / 2 4,
m2 (-b ⎻ √D) / 2a (2 ⎻ √36) / 2 (2 ⏤ 6) / 2 -4 / 2 -2.
Таким образом, мы находим два значения m, при которых векторы u(1−m,3) и v(3,1−m) не образуют базис на плоскости. Они равны m1 4 и m2 -2.
Надеюсь, что мой опыт решения этой задачи поможет вам лучше разобраться в теме базиса на плоскости. Желаю вам успехов в решении математических задач!