Привет, меня зовут Артем и сегодня я хочу поделиться своим опытом вычисления производной функции в заданной точке. Возможно, вы уже сталкивались с подобной задачей или только начинаете изучать дифференциальное исчисление. В любом случае, я надеюсь, что мой опыт будет полезным.
Для начала, давайте рассмотрим заданную функцию⁚ y (13 ⸺ x^2) * sin(2x). Наша задача ⸺ вычислить производную этой функции в точке x 0.Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться правилом дифференцирования произведения функций и правилом дифференцирования синуса.Правило дифференцирования произведения функций гласит, что производная произведения двух функций равна произведению производных этих функций. Таким образом, для нашей функции y (13 — x^2) * sin(2x) мы можем выразить производную следующим образом⁚
y’ [(13 — x^2)’ * sin(2x)] [(13 ⸺ x^2) * (sin(2x))’]
Теперь нам нужно вычислить производные каждой из функций в скобках.1. Вычисление производной (13 — x^2)’⁚
Для этого нужно применить правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования степеней.(13 ⸺ x^2)’ 0, (2x) -2x
2. Вычисление производной sin(2x)⁚
Так как sin(2x) — это композиция функций٫ мы можем воспользоваться правилом дифференцирования композиции функций٫ которое гласит٫ что производная композиции двух функций f(g(x)) равна произведению производной внешней функции f'(g(x)) и производной внутренней функции g'(x).В нашем случае٫ внешняя функция — sin(x)٫ а внутренняя функция ⸺ 2x.Таким образом٫ производная sin(2x) выглядит следующим образом⁚
(sin(2x))’ cos(2x) * (2x)’
2cos(2x)
Теперь, когда мы вычислили производные каждой из функций, мы можем вернуться к нашему уравнению для производной y’⁚
y’ [(-2x) * sin(2x)] [(13 ⸺ x^2) * (2cos(2x))]
Так как нам нужно вычислить значение производной в точке x 0, мы можем подставить это значение в наше уравнение⁚
y'(0) [(-2 * 0) * sin(2 * 0)] [(13 ⸺ 0^2) * (2 * cos(2 * 0))]
y'(0) 0 [13 * 2 * 1]
y'(0) 0 26
y'(0) 26
Таким образом, значение производной функции y (13 ⸺ x^2) * sin(2x) в точке x 0 равно 26.