Вычисление базиса ядра оператора
Привет! Меня зовут Максим, и я хочу поделиться с тобой своим опытом по вычислению базиса ядра оператора. Чтобы проиллюстрировать процесс, рассмотрим конкретный пример с матрицей A [1, 0, 1; 1, 1, -1; -4, -2, 0] в стандартном базисе.
Ядро оператора ⎻ это множество всех векторов, которые переходят в нулевой вектор при действии оператора. Геометрически, ядро оператора представляет собой пространство, где все векторы исходят из начала координат и проходят через нулевую точку.
Для вычисления базиса ядра оператора нам необходимо решить систему линейных уравнений Ax 0, где A ⎻ матрица оператора, x ⎻ вектор координат. В нашем примере, это будет система линейных уравнений⁚
[1٫ 0٫ 1; 1٫ 1٫ -1; -4٫ -2٫ 0] * [x٫ y٫ z] [0٫ 0٫ 0]
Давай я расскажу тебе, как я решал данную систему. Сначала я записал расширенную матрицу, составленную из матрицы A и столбца нулей⁚
[1, 0, 1, 0; 1, 1, -1, 0; -4, -2, 0, 0]
Затем я привел эту матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований. После приведения матрицы к ступенчатому виду, я получил следующую матрицу⁚
[1٫ 0٫ 1٫ 0; 0٫ 1٫ -2٫ 0; 0٫ 0٫ 0٫ 0]
Если обратить внимание на последнюю строку данной матрицы, можно заметить, что она состоит только из нулей. Таким образом, последнее уравнение системы является тождественно истинным. Это означает, что переменная z может принимать любые значения.
Теперь давай я выразим переменные x и y через z, используя первые два уравнения ступенчатой матрицы⁚
x z 0
y ⏤ 2z 0
Подставив z t, мы получим⁚
x -t
y 2t
z t
Таким образом, векторы, принадлежащие ядру оператора, могут быть выражены через параметр t⁚
v [-t, 2t, t], где t ⏤ любое число.
Итак, базисом ядра оператора с матрицей A [1, 0, 1; 1, 1, -1; -4, -2, 0] является один вектор [-1, 2, 1].
Надеюсь, что мой опыт поможет тебе в понимании процесса вычисления базиса ядра оператора. Если у тебя есть какие-либо вопросы, буду рад на них ответить!