Задание 1.
Перейдем к решению данного уравнения‚ используя определение сравнения по модулю.
а) 178 ≡ 2 (mod 11)
Если два числа различаются нацело‚ то их разность делится на это число. В данном случае разность между числами 178 и 2 равна 176‚ и она делится на 11 без остатка.
Таким образом‚ верно‚ что 178 ≡ 2 (mod 11).
б) –85 ≡ 7 (mod 10)
Аналогично предыдущему пункту‚ разность между числами –85 и 7 равна –92‚ и она делится на 10 без остатка;
Следовательно‚ верно‚ что –85 ≡ 7 (mod 10).
в) –49 ≡ –4 (mod 9)
Аналогично предыдущим пунктам‚ разность между числами –49 и –4 равна –45‚ и она делится на 9 без остатка.
Таким образом‚ верно‚ что –49 ≡ –4 (mod 9).
Задание 2.
а) 2^3n на 7 (для нечётных n)
Учитывая свойство сравнений по модулю‚ согласно которому (a · b) mod n (a mod n · b mod n) mod n‚ можем заметить‚ что (2^3)^n (2^3)^n mod 7.
Так как 2^3 mod 7 1‚ то (2^3)^n mod 7 1^n mod 7 1 mod 7 для любого нечётного n.
Следовательно‚ остаток от деления 2^3n на 7 для нечётных n равен 1.
б) 6^12 ∙ 8^14 на 7
Используя такое же свойство сравнений по модулю‚ получим (6^12 mod 7) · (8^14 mod 7) mod 7.
Заметим‚ что 6^12 mod 7 1 и 8^14 mod 7 1‚ следовательно‚ остаток от деления 6^12 ∙ 8^14 на 7 равен 1.
в) 23^16 33^16 49^16 на 15
Аналогично предыдущим пунктам‚ применим свойство сравнений по модулю и получим (23^16 mod 15) (33^16 mod 15) (49^16 mod 15) mod 15.
Заметим‚ что 23^16 mod 15 1‚ 33^16 mod 15 1 и 49^16 mod 15 1‚ следовательно‚ остаток от деления 23^16 33^16 49^16 на 15 равен 3.
г) 3^1255 – 1255^3 на 8
Вновь применим свойство сравнений по модулю и получим (3^1255 mod 8) – (1255^3 mod 8) mod 8.
Заметим‚ что 3^1255 mod 8 3 и 1255^3 mod 8 7‚ следовательно‚ остаток от деления 3^1255 – 1255^3 на 8 равен 3 – 7 -4.
Задание 3.
а) 5x 11y 37
Данное уравнение можно решить с помощью метода подбора.
Подставим вместо x и y целые числа и найдем их сумму⁚
Когда x 1 и y 6‚ 5x 11y 5 · 1 11 · 6 5 66 71 ≠ 37
Когда x 2 и y 5‚ 5x 11y 5 · 2 11 · 5 10 55 65 ≠ 37
Когда x 3 и y 4‚ 5x 11y 5 · 3 11 · 4 15 44 59 ≠ 37
Когда x 4 и y 3‚ 5x 11y 5 · 4 11 · 3 20 33 53 ≠ 37
Когда x 5 и y 2‚ 5x 11y 5 · 5 11 · 2 25 22 47 ≠ 37
Когда x 6 и y 1‚ 5x 11y 5 · 6 11 · 1 30 11 41 ≠ 37
Когда x 7 и y 0‚ 5x 11y 5 · 7 11 · 0 35 0 35 ≠ 37
Таким образом‚ не существует целых чисел x и y‚ которые бы удовлетворяли данному уравнению.
б) 20x – 16y 104
Аналогично предыдущему уравнению‚ решим данное уравнение с помощью метода подбора⁚
Когда x 1 и y -12‚ 20x – 16y 20 · 1 – 16 · -12 20 192 212 ≠ 104
Когда x 2 и y -8‚ 20x – 16y 20 · 2 – 16 · -8 40 128 168 ≠ 104
Когда x 3 и y -4‚ 20x – 16y 20 · 3 – 16 · -4 60 64 124 104
В данном случае существует целое число x 3 и целое число y -4‚ которые удовлетворяют данному уравнению‚ поэтому являются его решением.