Закон изменения углового ускорения материальной точки дан в виде ε 12Аt^2 2В, где А и В ⏤ константы. Дано, что А 0,15 рад/с^4 и В 0,5 рад/с^2. Необходимо найти угловую скорость ω и угловое перемещение φ материальной точки через t 2 секунды после начала движения из состояния покоя.Для нахождения угловой скорости ω воспользуемся определением углового ускорения⁚ ε dω/dt. Поскольку ε зависит от времени t, необходимо проинтегрировать выражение для ε по времени.∫ε dt ∫(12Аt^2 2В) dt
Раскрывая скобки и интегрируя каждое слагаемое по отдельности, получим⁚
∫ε dt ∫(12Аt^2 2В) dt 4Аt^3 2Вt С,
где С ⏤ константа интегрирования.Угловая скорость ω определяется как производная углового перемещения φ по времени⁚ ω dφ/dt. Таким образом, нам необходимо найти функцию φ(t).Интегрируя угловую скорость по времени⁚
∫ω dt ∫dφ,
получим⁚
φ ∫ω dt ∫(4Аt^3 2Вt С) dt Аt^4 Вt^2 Сt D,
где D ⎼ еще одна константа интегрирования.Итак, получили выражения для угловой скорости ω и углового перемещения φ⁚
ω 4Аt^3 2Вt С٫
φ Аt^4 Вt^2 Сt D.Для нахождения констант С и D необходимо использовать начальные условия⁚ материальная точка начинает движение из состояния покоя при t 0. Следовательно٫ φ(0) 0 и ω(0) 0.Подставляя t 0 в уравнения для ω и φ٫ получаем⁚
φ(0) D 0٫
ω(0) C 0.Таким образом, окончательные выражения для угловой скорости ω и углового перемещения φ имеют вид⁚
ω 4Аt^3 2Вt,
φ Аt^4 Вt^2.Теперь можно рассчитать значения угловой скорости ω и углового перемещения φ через t 2 секунды⁚
ω(2) 4А(2)^3 2В(2) 4А(8) 4В 32А 4В,
φ(2) А(2)^4 В(2)^2 16А 4В.Подставляя значения А 0٫15 рад/с^4 и В 0٫5 рад/с^2٫ получаем⁚
ω(2) 32(0٫15) 4(0٫5) 4٫8 2 6٫8 рад/с٫
φ(2) 16(0,15) 4(0,5) 2,4 2 4,4 рад.
Таким образом, через 2 секунды после начала движения из состояния покоя угловая скорость материальной точки равна 6,8 рад/с, а угловое перемещение составляет 4,4 рад.